Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из диагоналей на два отрезка длиной 4 см и 6 см . найдите длину большего основания трапеции, если длина меньшего основания равна 10 см .

хорошая , побольше бы таких.

пусть основание биссектрисы m, длина l, и пусть высота ha из а к стороне св (основание обозначим n), высота hb  из в к стороне са. (внимание! - ha и hb - не произведения! это просто обозначения высот. все произведения отмечены *) 

тогда ав = ам + мв; ам/мb = са/св; мв = ав/(1+са/св);

са = 2*s/hb; cb = 2*s/ha; s - площадь треугольника авс.

са/св = ha/hb;   мв = ав/(1 +  ha/hb);

осталось провести препендикуляр из точки м на сторону св, пусть его основание на св - р. из подобия прямоугольных треугольников pmb и anb следует

мр/аn = mb/ab; mp = ha/(1+ha/hb) = ha*hb/(ha + hb);

sin(c/2) = mp/cm = (1/l)*ha*hb/(ha + hb);

это - ответ, смысла его как-то преобразовывать нет. 

сторона квадрата равна 6 м.найдите длину вписанной в него окружности.

n - число пи

1) 6n м   2) 12n м     3) 36n м   4) 3n м

решение

1) если окружность вписана в квадрат, значит ее диаметр равен стороне квадрата (это хорошо видно если это начертить - не путать с описанной окружностью, там диаметр равен диагонали квадрата), тогда:

r=6/2=3 м

2) длина окружности равна:

р=2*(пи)*r=2*3*(пи)=6*(пи)

но можем и не вычислять радиус, зная что 2*r=d

тогда решается в одно действие:

p=2*(пи)*r=d*(пи)=6*(пи)

ответ: 1) 6n м, где n - число пи