С объяснениями В треугольной пирамиде SABC боковые ребра SA = 8 dm, SB = 10 dm, SC = 12 dm, а ∠ASB = 30◦ , ∠BSC = 45◦ , ∠ASC = 60◦ . Найдите площадь (dm2) боковой поверхности пирамиды.

Так как для боковых граней даны длины рёбер и углы между ними, то применяем теорему косинусов и находим длины сторон треугольника основания.

AB = √(SA² + SB² - 2*SA*SB*cos30°) = √(64+100-2*8*10*(√3/2)) =

    = √(164-80√3) = 2√(41-20√3) ≈ 5,043405.

Аналогично определяем:

ВС = √74,294373 ≈ 8,619418.

АС = √112 ≈ 10,583005.

Теперь по формуле Герона находим площади боковых граней.

Площадь ASB  Полупериметр р =  11,52170257 p-a p-b p-c

     3,521702569 1,521702569 6,478297431

  S =  √400 = 20    

Площадь BSC  Полупериметр р =  15,30970917 p-a p-b p-c

     5,30970917 3,30970917 6,69029083

  S =  √1800 ≈ 42,42640687    

Площадь ASC  Полупериметр р =  15,29150262 p-a p-b p-c

     7,291502622 3,291502622 10,58300524

  S =  √3883,921259 ≈ 62,32111407    

       

  Sбок =  124,7475209.    

Смотрим рисунок, данный в приложении. 

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на треугольники. Стороны четырехугольника, которые  соединяют середины сторон ABCD, являются средними линиями таких треугольников, поэтому противоположные стороны такого вписанного четырехугольника равны и параллельны.⇒ 

Четырехугольник КМНР - параллелограмм. 

 Отрезки, соединяющие середины сторон исходного четырехугольника - диагонали получившегося параллелограмма. 

Если диагонали параллелограмма равны, этот параллелограмм– прямоугольник. Противоположные стороны КМНР  равны половине диагоналей АВСD. 

Примем длину ВD= а. Тогда АС=3а/4

КР=ВD:2=а/2

КМ=АС:2=3а/8 

По условию диагонали прямоугольника равны 15. 

Вычислим по т.Пифагора стороны КМНР. 

МР²=КМ²+КР²

15²=(3а/8)²+(а/2)²

225=9а²/64+а²/4 ⇒

25а²/64=225 откуда 

а²=576

а=24

КР=МН=24:2=12

КМ=РН=24:8•3=9

1)
Уравнение прямой А1А2
ax+by+c=0
Подставляем координаты точек А1 и А2
-5а+2b+c=0
5a+b+c=0
Сложим
3b+2c=0
Пусть с= -15 тогда b=10 a=1

А1А2
x+10y-15=0

Нормализованное уравнение прямой
к=√(1+100)=√101

x/√101+10y/√101-15/√101=0

Сделаем сразу пункт
5) Подставляем координаты точки А4 в нормализованное уравнение
5/√101+160/√101-15/√101=150/√101

2)
Точка М - середина А1А3
М(-2.5;3)
Подставляем А2и М в уравнение прямой
5а+b+c=0
-2.5a+3b+c=0 или -5а+6b+2c=0
Сложим
7b+3c=0
Пусть с= -7 тогда b=3 a=0.8
Медиана
0.8x+3y-7=0

Вектор А1А3(5;2)
Высота проходит через точку А2(5;1) и перпендикулярна А1А3
Перпендикулярный вектор (2;5)
Ещё одна точка на высоте A2+(2;5)= (7;6)
Подставляем координаты точек в уравнение прямой
5a+b+c=0
7a+6b+c=0
Вычтем
2a+5b=0
Пусть а= -5 тогда b=2 c=23
Высота
-5x+2y+23=0

3)
Вектора
А2А1(-10;1) длина√101
А2А3(-5;3) длина √34
Косинус угла А2
А2А1*А2А3/|А2А1|/|А2А3|=53/√101/√34=53/√3434

4) Площадь А1А2А3= 1/2 |А2А1хА2А3| =25/2=12.5