Отрезок BO перпендикулярен плоскости beta . Треугольник ABC - равносторонний, ∠OMB=60∘. Найдите синус угла BAO. ответ запишите в виде десятичной дроби.

Отрезок BO перпендикулярен плоскости beta . Треугольник ABC - равносторонний, ∠OMB=60∘. Найдите синус угла BAO. ответ запишите в виде десятичной дроби.

Объяснение:

Пусть сторона равностороннего треугольника а.

Т.к.  ВМ⊥АС, то ВМ -медиана и АМ=а/2

ΔАВМ -прямоугольный , по т. Пифагора ВМ=√(а²-1/4*а²)=а√3/4.

ΔОВМ -прямоугольный , sin60°=BO/BM ,  √3/2=ВО/(а√3/4), ВО=3а/4.

ΔОВМ -прямоугольный , sin∠ВАО=BO/АВ ,sin∠ВАО=(3а/4) /а=3/4=0,75

Соединим точки A и D, D и C, С и B. Пусть AC∩BD=E.

∠ADB и ∠ACB вписанные и опирающиеся на хорду AB. Тогда они равны. Т.к. AB - диаметр, ∠ADB = ∠ACB = 90°.

Применив т. об отрезках пересекающихся хорд к хордам AC и DB, получим AE*EC=DE*EB.

Обозначим DE=a, EB=b, AE=c → с*EC=a*b → EC=a*b/c

AC ּ AE + BD ּ BE = (AE+EC)*AE+(BE+ED)*BE=c²+a*b+b²+a*b=c²+2ab+b²=(c²-a²)+(a+b)²=[по т. Пифагора для ΔADE (c²-a²)=AD². DB²=(DE+EB)²=(a+b)²]=AD²+DB²=[по т. Пифагора для ΔADB]=AB²

Т.к. AB - диаметр окружности, то значение AC ּ AE + BD ּ BE не зависит от положения точки E.

Відповідь:

DS:SA=6:7.

Пояснення:

Виконаємо рисунок, для побудови перетину використаємо метод

внутрішнього проектування: (AQ)∩(PR)=O, (DO)∩(MK)=L, (NL)∩(AD)=S, де S – шукана  точка перетину прямої (AD) площиною (MNK).

Зауважимо, що чотирикутник ARQP – паралелограм, а тому точка О є серединою обох  його діагоналей. Розглянемо трикутник DPR: точки О і K є серединами своїх сторін, а тому  PD||KO і PD=2·KO; з умови маємо, що MD=⅔·PD, а тому MD:KO=4:3. З подібності  трикутників MDL i KOL маємо DL:OL=MD:KO, а тому DL:OL=4:3.

Розглянемо трикутник QAD, введемо афінну систему координат.  Нехай точка  Q(0;0) – початок координат, напрям вісі абсцис – від точки Q до точки А, нехай A(2;0),  напрям вісі ординат – від Q до D, нехай D(0;4).

Тоді, з урахуванням умови,  координати О(1;0), N(0;1).

Обчислимо координати точки  L(x; y):

вектори DO(1;-4); DL(х; y- 4), причому  DL=4/7 DO, а тому  L (4/7;12/7). Вектор  NL(4/7;5/7)||(4;5), а тому рівняння прямої  NL x=4t; y=1+5t, tєR

Рівняння прямої (АD) за  двома точками : (х-0)/(2-0)=(у-4)/(0-4) або  

2x + y- 4= 0.

Знайдемо координати точки  S =(NL)∩(AD), розв’язавши систему рівнянь:

2x + y- 4= 0;

x=4t;                       ⇒2*4t+1+5t-4=0 ⇒8t+5t=3 ⇒ 13t=3 ⇒ t=3/13;

y=1+5t.

x=4*3/13=12/13;

y=1+5*3/13=1+15/13=28/13.

Тобто S(12/13;28/13).

А тоді вектори  DS(12/13;-24/13)=12/13*(1;-2); SA(14/13;-28/13)=14/13*(1;-2).

і шукане відношення DS:SA=6:7.

Відповідь: DS:SA=6:7.