Один из углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а сумма гипотенузы и меньшего катета 15 см. найдите гипотенузу и меньший катет.

это же для устного счета. раз один из углов в 2 раза больше другого, а в сумме они составляют 90 градусов, то это углы 30 и 60 градусов. значит, гипотенуза в 2 раза больше меньшего катета, а в сумме они составляют 15. значит, гипотенуза 10, а меньший катет 5.

один из катетов лежит против угла в 30 градусов.  по теореме пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (квадраты сокращаем).  а по условию разность гипотенузы и меньшего катета равна 15см, следовательно, это величина большего катета. а катет лежащий против угла в 30 градусов = 1/2 гипотенузы. значит, гипотенуза - 1/2 гипотенузы= 15 => 1/2 гипотенузы = 15. гипотенуза равна 30. меньший катет = 15. 

Ну вот если продлить отрезки, соединяющие вершины с серединами сторон, а из вершин провести прямые параллельно этим отрезкам, то при пересечении они образуют 1) попарно равные треугольники с треугольниками, образовались которые внутри квадрата 2) четыре квадрата, равных квадрату, образованному внутри (площадь которого надо найти). это проще всего понять, если заметить, что вся эта конструкция переходит в себя при повороте на 90° вокруг центре исходного квадрата - поскольку "в себя" переходят и вершины, и середины сторон. кстати, это доказывает и то, что фигура, площадь которой надо найти - тоже квадрат. в условии это сказано, но не ясно, откуда это следует. поскольку все таких квадратов 5, и все они одинаковые, и площадь их (из за пункта 1) равна площади исходного квадрата, все доказано.

Хорошая , хотя и простая. каждый отрезок, который соединяет m с её образами m_1 проходит через середину стороны четырехугольника и делится ей пополам. если соединить все середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм, стороны которого равны половине диагоналей четырехугольника (и параллельны им). легко видеть, что, к примеру, отрезок t_1t_2 - средняя линия треугольника mm_1m_2. и точно также - остальные. поэтому многоугольник m_1m_2m_3m_4 - параллелограмм, стороны которого в два раза больше сторон параллелограмма t_1t_2t_3t_4. то есть равны (и параллельны) диагоналям исходного четырехугольника. поскольку этот вывод не зависит от положения точки m, все доказано. конечно, само положение этого параллелограмма зависит от положения точки m.