Сторона ромба равна а, острый угол 60 градусов. через сторону ромба проведена плоскость альфа на расстоянии а/2 от противолежащей стороны. найти длину проекции меньшей диагонали ромба на эту плоскость.

Если около 4-угольника описана окружность, значит сумма противоположных углов этого 4-угольника = 180° (это теорема) если около трапеции описана окружность, значит сумма противоположных углов трапеции = 180°, но в трапеции и сумма углов, прилежащих к боковой стороне, тоже = 180° ((это односторонние углы при параллельных основаниях их сумма 180°) получаем, что если трапеция вписана в окружность, значит трапеция равнобедренная, или наоборот, вписать в окружность можно только равнобедренную если провести диагональ трапеции, то получившийся треугольник будет вписанным в эту окружность)) радиус описанной окружности можно записать из теоремы синусов или из площади в трапеции (если провести две высоты) легко найти длину боковой

Всё-таки пришёл к мысли, что решается вычислительным способом. если бы цифры были чуть-чуть другими, то треугольник получился бы прямоугольным, и  тогда решилась бы красиво. но треугольник чуть-чуть туповат, самую малость, но всё же. обозначаю его так: пусть он авс, центр впис. окр - точка о. точки касания окружностью сторон, соответственно, с1, а1 и в1 (по противолежащей стороне).пусть ао=корень(30), во=корень(370). со нам  неизвестно. мы имеем три пары равных треугольников: овс1 = ова1 по общей стороне, равенству ос1=оа1, равенству прямого угла в точке касания, и равенству углов с1во и а1во(ибо во - биссектриса угла авс). всё так? что ж, решаем известные треугольники. в треугольнике овс1 знаем гипотеузу ов = корень(370) и катет с1о = 3. отсюда синус с1во = 3 /корень(370) = 0.1559625734730109, а сам угол = 8.972626614896393 градусов.аналогично в оас1 гипотенуза оа = корень(30) и катет с1о = 3, отсюда синус с1ао = 3/корень(30) = 0.5477225575051661, а сам угол = 33.21091076089908 градусов. теперь заметим, что сумма углов треугольника авс = 180 градусов, а сумма половин  углов = 90 градусов. отсюда угол осв1 = оса1 = 90 - сумма  двух найденных углов.90 - 8.972626614896393 - 33.21091076089908 = 47.816462624204526 градусов. итак, в треугольнике осв1 мы знаем катет ов1 = r = 3, и угол осв1. можем найти второй катет в1с = ов1 / tg (осв1) = 2.718663608560393. теперь заметим, что сумма следующих трёх отрезков: в1с, а1в, с1а составляет половину периметра треугольника - это желанная величина.в1с мы только что нашли. найдём остальные два отрезка по теореме пифагора.   с1а=корень(370-3*3) = корень(361)=19.с1а = корень(30 - 3*3) = корень(21) = 4.58257569495584. складываем эти три отрезка, и получаем: 2.718663608560393 + 19 + 4.58257569495584 = 26.301239303516233. вот нам и готов  полупериметр p. теперь применяем формулу площади треугольника  через радиус вписанной окружности: s = r * p = 3 * 26.301239303516233 = 78.90371791054869. такой выходит ответ. в том, что этот ответ верный, у меня сомнений нет. остаются лишь сомнения, что не увидел какой-то способ решения. поэтому применил вычислительный. ну, по крайней мере есть хоть такой. ещё буду думать. к сожалению, есть банальный закон подлости - хорошая мысля приходит опосля. может быть завтра само собой выскочит более короткое и красивое решение.