Два правильных шестиугольника расположены, как показано на рисунке. Площадь серого треугольника равна 1. Чему равна площадь большего шестиугольника?

ответ: площадь большего 6-угольника =18 (ед²)

Объяснение: если провести все диагонали правильного 6-угольника, они разобьют 6-угольник на 6 равных равносторонних треугольников;

S_6 = 6*S(равностороннего треугольника)

рассмотрев получившиеся углы, можно заметить, что сторона меньшего 6-угольника является радиусом описанной окружности для одного из шести правильных треугольников, т.е. один равносторонний треугольник разбивается на три равных треугольника (и площади у них равны),

т.е. S(равностороннего треугольника) = 1+1+1 = 3 (ед²)

S_6 = 6*3 = 18.

Рисунок здесь без надобности. 
Сумма всех внутренних углов выпуклого многоугольника  180º•(n-2), где n- число сторон. 
Сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника 360º. 
Допустим, что многоугольник правильный. 
 Тогда каждый внешний угол будет 360º:n
Заданную сумму  всех внутренних углов правильного многоугольника с одним из внешних можно выразить уравнением:
180º•(n-2)+360º:n=1000º
 180n²-360n+360=1000n⇒ после несложных преобразований получим
9n²-68n+18=0
Корнями этого квадратного уравнения ≈7,3 и ≈0.3; 
Количество сторон многоугольника не может быть дробным и не может быть меньше трех. Зато градусная мера его углов может быть выражена не целыми числами. 
Многоугольник по условию не задан правильным. Следовательно, количество его сторон может быть равно семи. Проверим:
180•(7-2)+x=1000º
х=1000º-900º=100º  Подходит. 

Сумма внутренних углов восьмиугольника больше 1000º - следовательно,  сторон меньше 8.
Сумма внутренних углов шестиугольника 720º. Тогда внешний угол должен быть 1000º-720º=280º, чего быть не может. Внешний угол со смежным внутренним в сумме составляют развернутый угол, т.е. 180º. 
ответ: Число сторон данного выпуклого многоугольника 7. 
  

Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Вычислите площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1, если площадь боковой поверхности треугольной пирамиды СС1АВ равна √3+4.

-----------

Поскольку призма правильная и все её  ребра равны, то ее боковые грани - квадраты. 

Сделаем рисунок. 

S бок.  пирамиды СС1АВ равно сумме площадей двух равных граней - равнобедренных прямоугольных треугольников АСС1и ВСС1 и  наклонной грани- равнобедренного треугольника АС1В.

Пусть ребро призмы равно а. 

S ACC1=S BCC1= а²:2

S AC1B=AB•C1H:2

АС1- диагональ квадрата и равна a√2

АН=ВН=а/2

Из ∆ АС1Н по т.Пифагора найдем С1Н. 

С1Н²=АС1²-АН²=2а²-а²/4=7а²/4

            С1Н=(a√7):2

S AC1B=a√7/2)•a/2=(a²√7):4

Sбок  пирамиды=2•(а²:2)+a²√7/4= (4а²+а²√7):4=a²(4+√7):4

 По условию a²(√7+4):4= √3+4

а² =4•(√3+4):(√7+4)

S A1CB1=S AC1B=(a²√7):4

Подставим значение  а²  в выражение S A1CB1=(a²√7):4

S A1CB1=[4•(√3+4):(√7+4)]•(√7):4

S A1CB1=√7•(√3+4):(√7+4) (ед. площади)