б) Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны `7` и `sqrt(15)`(корень из 15 Найдите расстояние между серединами оснований. в) Углы при большем основании трапеции равны `61^@` и `29^@`. Точки `M` и `N` – середины оснований, точки `P` и `Q` – середины боковых сторон. Найдите основания трапеции, если `MN=4` и `PQ=7`.

ответ: б)  4   в)  3  и   11

Объяснение:  б). Пусть трапеция АВСD .  Диагональ АС=√15 , диагональ BD=7.  О- точка пересечения диагоналей.   М- середина основания ВС, N- середина стороны AD .  Заметим, что MN проходит через точку О. В принципе это отдельная теорема, но мы будем считать ее известной.

Тогда ОМ это медиана прямоугольного треугольника ВОС.  И по свойству медианы,  проведенной из вершины прямого угла,  она равна половине гиптенузы.

То есть ОМ=ВС/2

Аналогично из треугольника AOD:  ON=AD/2

Тогда OM+ON=MN=(BC+AD)/2     (1)

Чтобы найти (BC+AD)/2,  найдем площадь трапеции ABCD.

Так как диагонали трапеции перпендикулярны друг другу, то

S(ABCD)=AC*BD/2=7*√15/2

С другой стороны S(ABCD)=(BC+AD)/2*h   (2)

, где h  высота трапеции.

Проведем отрезок СТ параллельный BD до пересечения с прямой AD.

Заметим, что искомая высота трапеции ABCD будет являться и высотой в треугольнике АСТ, проведенной из вершины С ( перпендикуляр между двумя параллельными прямыми).

Заметим что угол АСТ тоже прямой и треугольник АСТ прямоугольный.

Найдем гипотенузу АТ этого треугольника .

АТ=sqrt(AC²+CT²)=sqrt(15+49)=8

Тогда высота треугольника  АСТ  h= AC*CT/AC=7*√15/8

Теперь из формулы (2) найдем (BC+AD)/2:

(BC+AD)/2*h= 7*√15/2

(BC+AD)/2=7*√15/2/ (7*√15/8)=4

Из формулы (1)   MN= (BC+AD)/2 =4

в). Пусть трапеция АВСD .  Угол ∡А= 61°,  ∡D=29°.

Заметим, что PQ - средняя линия трапеции= (ВС+ AD)/2=7

=> BC+AD=14

Пусть ВС=х  AD=y

=>x+y=14   (1)

Проведем через точку М отрезок МК параллельный стороне АВ и МS параллельный стороне CD.   Точки К и S принадлежат отрезку АD.

Тогда в треугольнике КМS ∡К=∡А=61°, а ∡S=∡D=29°.

Тогда угол М треугольника КМР равен:

∡М=180°-61°-29°=90°

То есть треугольник КМS прямоугольный, где гипотенуза

КS= AD-BC=y-x

MN в этом треугольнике медиана, и по теореме о медиане в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы.

MN=4= (y-x)/2

y-x=8   (2)

Решая систему уравнений (1) и (2) получим х=3  у=11

Из нового синтетического материала изготовили брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, полная поверхность которого равна 192 см2.

Брусок был подвергнут давлению по всем граням таким образом, что форма прямоугольного параллелепипеда сохранилась, но каждое ребро уменьшилось на 1 см.

Сравнивая два бруска, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, установили, что длина, ширина и высота второго бруска соответственно на 1 см больше, чем у первого бруска, а объем и полная поверхность второго бруска соответственно на 18 см3 и 30 см2 больше, чем у первого.

Одно из боковых ребер наклонного параллелепипеда составляет равные острые углы с прилежащими к нему сторонами нижнего основания.

Через диагональ нижнего основания произвольного параллелепипеда и середину не пересекающего ее бокового ребра проведена плоскость.

Как относятся объемы образовавшихся при этом частей параллелепипеда?

Дан параллелепипед ^SCDA^jCjDj.

Доказать, что в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сумма.

1) Пусть Xf, хг и х3 — длины ребер, выходящих из одной вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда.

2) Найти длины ребер такого прямоугольного параллелепипеда, у которого сумма всех ребер, полная поверхность и объем соответственно равны 48 см, 88 см2 и 48 см9.

Длины ребер, исходящих из общей вершины некоторого прямоугольного параллелепипеда, являются корнями уравнения а*3+ ~\-bx*-\-cx-}-d=Q.

Определить длину диагонали этого параллелепипеда.

Найти площадь поверхности сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, три измерения которого являются корнями уравнения Х3+шг2+йлг+с=0.

] Доказать, что сумма квадратов длин всех ребер параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его четырех диагоналей.

Доказать, что из всех прямоугольных параллелепипедов С данной суммой всех ребер наибольший объем имеет куб.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда рагаа 13 см, _а диагонали его боковых граней равны 4У10 см и 3]/17 см.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ь, острый угол между ними содержит 60°.

Большая диагональ основания конгруэнтна меньшей диагонали параллелепипеда.

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 см и 4 см и острым углом 60°.

Основанием параллелепипеда служит квадрат.

Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна / и составляет о одной гранью угол 30°, а с другой 45°.

Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь.

Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ равна d, а длины ребер относятся, как т: п: р.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ь и образуют угол 30°.

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся, как т: п, а диагональное сечение представляет собой квадрат с площадью, равной Q.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см.

Из медной болванки, имеющей форму пря--моугольного параллелепипеда размером 80 смХ20 смХ Х5 см, прокатывается лист толщиной 1 мм.

В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм.

Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30

Семён Дежнёв является первооткрывателем пролива между Евразией и северной Америкой.Через 80 лет,после Дежнева,Витус Беринг доказал существование пролива ,по приказу Петра Первого,на чьей службе он состоял.Проливу было присвоено имя Беринга.Донесениям Дежнева не придали значения,посчитав их не очень важными и только Пётр Великий обратил внимание на донесения, понял стратегическую важность открытия.Он отправил Беринга на исследование пролива,требуя доказательства.Витус с честью выполнил свою миссию,поэтому проливу и дали его имя.К сожалению,история знает немало примеров,когда одни открывают,а слава достаётся другим.