82. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати: 1) 42° і 148°; 2) 90° і 90;3) 166° і 14°; 4) 23° i 156°?​

82. Чему могут быть равны два смежных угла?

- - -

1) 42° + 148° = 190° - эти углы не могут быть смежными

2) 90° + 90° = 180° - эти углы могут быть смежными

3) 166° + 14° = 180° - эти углы могут быть смежными

4) 23° + 156° = 179° - эти углы не могут быть смежными.

- - -

ответ : 2), 3).

В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведем высоту АН к стороне ВС. Высота тупоугольного треугольника, проведенная из вершины острого угла,  лежит вне треугольника.

    В равнобедренном ∆ АВС   ∠ВСА=∠САВ= 30°,⇒ ∠В=180°-2•30°=120° В Δ АВН  угол АВН смежный углу АВС равен 180°-120°=60°. Угол ВАН=180°- 90°-60°=30°.

 Примем  АВ=ВС равными а. Тогда ВН=а•sin30°=a/2, AH=a•sin60°=a√3/2.

Биссектриса АЕ делит угол ВАС на два по 30°:2=15°. Тогда в прямоугольном треугольнике НАЕ ∠НАЕ=<НАВ+ <ВАЕ=30°+15°=45°.  Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°, поэтому ∠НЕА=45°⇒ ∆ АНЕ - прямоугольный равнобедренный (по свойству), и ЕН=АН=a√3/2

НЕ=ВЕ+ВН=(8+а/2 )

Из равенства АН=ЕН следует  a√3/2=8+а/2, откуда получим а-8=8√3, ⇒  а=8(√3+1) см

Площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения равных сторон на синус угла между ними.

S(ABC)=0,5•a²•sin120°.  S(ABC)=0,5•[8(√3+1)]²•√3/2=32√3( 2+√3) см²

 Определение 1. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Величина двугранного угла равна его линейному углу.

 Определение 2. Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи с общим началом на ребре двугранного угла, которые проведены в его гранях перпендикулярно ребру.

  Расстояние от точки до прямой  и от точки до плоскости равно длине проведенного между ними перпендикуляра.

Обозначим грани угла  α и β, ребро - а  Пусть  точки А и В лежат в плоскости грани β. Длина перпендикуляра ВМ=6√2, перпендикуляра AM=4√2.

Опустим из т.А и т.В перпендикуляры ВС и АК на грань α. ВМ - наклонная, СМ - ее проекция на  плоскости грани α. По т. о 3-х перпендикулярах СМ⊥ребру а. ⇒ Угол ВАС - искомый.

В треугольнике ВМС отрезки АК||ВС, ⇒ острые углы прямоугольных ∆ ВСМ  и АМК равны, эти треугольники подобны.

 По условию ВС+АК=10 см Примем длину АК=х см. Тогда ВС=10-х см.           Из подобия следует отношение х:(10-х)=4√2:6√2, ⇒ х•6√2=(10-x)•4√2. Откуда  получим 5х=20 см, х=4 см. Из прямоугольного треугольника АКМ sinAMK=АК:АМ=4:4√2=1/√2, что равно √2/2, –  синусу 45°.  Величина данного двугранного угла 45°.