Используя рисунок решить задачи: а) АС=ВС=7 Найти: угол В, АВ. б) угол В=450 AC=a. Найти: ВА, СВ. в) АВ=12, ВС=6 Найти угол В. г) АВ=5, AC=3. Найти tgB.

Из 3 отрезков можно построить треугольник, если наибольший из этих отрезков строго меньше суммы двух других (неравенство треугольника).

 

Чтобы узнать, чему равна высота, достаточно знать площадь треугольника и величину стороны, на которую высота опущена. По условию, треугольник ABC равнобедренный, AB=BC, BH - высота, так как она опущена на основание равнобедренного треугольника, она является также биссектрисой и медианой, то есть AH=CH=15/2. Треугольник ABH прямоугольный, и величину катета BH можно найти по теореме Пифагора: BH^2=28^2-(15/2)^2=((28*2)^2-15^2)/4=2911/4, тогда BH равен корню из этого числа, то есть sqrt(2911)/2. Площадь ABC равна AC*BH/2=15*sqrt(2911)/4. В то же время, площадь равна 1/2*BC*AH, 15*sqrt(2911)/4=1/2*28*AH, 15*sqrt(2911)/2=28*AH, AH=15*sqrt(2911)/56. 

 

Нам нужно выяснить, можно ли построить треугольник из отрезков AH, BH, CH. CH=AH, поэтому, очевидно, CH<AH+BH и AH<CH+BH, поэтому единственное условие, которое нужно проверить - BH<AH+CH, или BH<2AH. Подставляем, получаем sqrt(2911)/2<15*2*sqrt(2911)/56, сокращаем, 1<15*4/56, 1<60/56. Неравенство является неверным, поэтому треугольник из полученных отрезков построить нельзя.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности:
ВН = СК = 7,5 · 2 = 15 см
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора
             АН = √(АВ² - ВН²) = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √64 = 8 см
ΔАВН = ΔDCK по катету и гипотенузе (АВ = CD по условию, ВН = СК как высоты трапеции), ⇒
DK = AH = 8 см

Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы противоположных сторон равны:
AD + BC = AB + CD = 17 + 17 = 34 см
AD = AH + HK + KD = 8 + HK + 8 = HK + 16
Так как НК = ВС:
AD + BC = 34
AD = BC + 16

2BC + 16 = 34
BC = (34 - 16)/2 = 18/2 = 9 см
AD = 9 + 16 = 25 см