Высота сд прямоугольного треугольника авс, опущенная на гипотенузу ав, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

высота сд прямоугольного треугольника авс, опущенная на гипотенузу ав, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

cd=h =4 8/13 дм = 60 /13

ab=c  -гипотенуза

ac (а),  bc(b) – катеты

c1 и с2 - длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу

с1=11 1/13 дм     = 144/13

 

способ 1

h^2=c1*c2   - свойство прямоугольного треугольника

с2= h^2 /c1 = (60 /13)^2 / (144/13) = 25/13

гипотенуза c= с1+с2=144/13+25/13= 13 дм

дальше по теореме пифагора

первый катет   a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм

 

второй катет b^2=h^2 + c2^2 ; b=√( h^2 + c2^2)= √(60 /13)^2+(25/13)^2=5 дм

 

способ 2

по теореме пифагора

первый катет   a^2=h^2 + c1^2 ; a=√( h^2 + c1^2)= √(60 /13)^2+(144/13)^2=12 дм

высота, на гипотенузу, связана с катетами соотношением

1/a^2 +1/b^2=1/h^2 - свойство прямоугольного треугольника  

второй катет 1/b^2=1/h^2 - 1/a^2 ; b^2 = (ah)^2 /(a^2-h^2)=(12*60/13)^2 /(12^2-(60/13)^2)=25 ; b= 5 дм

по теореме пифагора

гипотенуза  с^2 = a^2 + b^2 ;   c= √ (a^2 + b^2) =√ (12^2 + 5^2)= √169 =  13 дм

 

 

способ 3

ответ  стороны треугольника    5, 12, 13

очевидно, если две плоскости взаимно перпендикулярны, мы должны использовать даную нам аксиому 4, в которой говорится   что если 2 плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. нам дано что угол пересечения равен 90 градусам, что дает нам понять что треугольники будут задействованы. проведем отрезки из точки а равные 20 и 21 см. оттуда мы их соединим, и продлим их. получим 2 квадрата гипотенузы умноженные на 4. после чего нужно использовать формулу радиуса окружности вокруг треугольника за площадью. (герона) после этого спокойно говорим что за теоремой 2.2 2 прямые лежать в 1 плоскости. так как они пересекают плоскость (пускай альфа) то они лежат в этой площине за 3 аксиомой.из этого выходит что угол пересечаения дает нам использовать все теоремы планиметрии. такие как теорема пифагора или среднего значения. из чего выплывает ответ : 20.5 см!

1. Не розв'язуючи рівняння, знайти суму та добуток його коренів:

1) x²−7x−2=0

За т. Вієта:

x₁+x₂ = 7,   x₁·x₂ = −2

2) 6x²+32x+45=0

D<0  ⇒  немає коренів в множині дійсних чисел, x∈∅.

2. Скласти квадратне рівняння, корені якого дорівнюють −0,3 і −10:

(x+0,3)(x+10) = 0

x²+0,3x+10x+3 = 0

x²+10,3x+3 = 0

3. Число −4 є коренем рівняння x²+11x+c = 0. Знайти значення c і другий корінь рівняння.  

Підставимо число −4 замість змінної х:  

(−4)²+11(−4)+c = 0

16−44+c = 0

c = 28

Підставимо у рівняння x²+11x+c = 0 значення с та знайдемо другий корінь:

x²+11x+28 = 0

За т. Вієта: х = −4,  х = −7

4. Розв'язати рівняння за т. Вієта:

1) x²+4x+3 = 0  ⇒  x = −1,  x = −3

2) x²−2x−3=0  ⇒  x = −1,  x = 3

3) x²+2x−15 = 0  ⇒  x = 3,  x = −5

4) x²−13x+36 = 0  ⇒  x = 9,  x = 4

5) x²−3x−10 = 0  ⇒  x = −2,  x = 5

6) x²+4x−21 = 0  ⇒  x = −7,  x = 3