Два острых углапрямоугольного треугольника относятся 4 : 5. Найдите больший острый угол. ответ дайте в градусах

Находим угол АОВ с учетом того, что АО и

OB - биссектрисы углов А и В (по свойству

центра вписанной окружности):

AOB = 180-(1/2)А-(1/2)B = 180-((V2)(A+B)) =

180-((1/2)(180-60) =

= 180-90+30 = 120°.

Зная 2 стороны и угол, находим сторону AB

треугольника АОВ:

AB =V(6°+102-2*6*10*cos120)

= V36+100-120*(-1/2) = V196 = 14 см.

Зная стороны треугольника АОВ, находим

углы А и В (А = 2*BAO, B =2*АВО) по теореме

Синусов.

sin BAO = sin120*10/14 =

0.866025*10/14 =

0.6185896º.

Угол BAO = arc sin

0.6185896 = 0.6669463 радиан =

38.213211°

Угол А= 2*0.3802512 радиан = 21.786789°.

Угол B = 2*

21.786789=

43.573579º.

Зная углы треугольника ABC и одну сторону

AB = 14 см, находим 2 другие по теореме

Синусов:

BC = 14*sin A/sin C = 14*

0.972069/

0.866025 =

15.71428571 CM.

AC = 14*sin B /sin C = 14*

0.6892855 / 0.866025 =

11.14285714 см.

Находим площадь треугольника АВС по

формуле Герона:

S= V(p(p-a)(p-b)(p-c) =

75.82141 см2.

Здесь р= (а+в+с)/2 =

20.428571 см.

Радиус описанной окружности R = abc / 4S =

8.0829038 CM.

см чертеж, там все обознавчения и построенное сечение.

АD II ВС, поэтому ВС II плоскости ADM, поэтому NM II BC, и NM средняя линяя тр-ка SBC. Все это пока касается построения. а вот уже по существу.

Раз ВС II плоскости ADM, можно взять любую точку на ВС и вычислить её расстояние до ADMN. 

Делаем вертикальное сечение SKP через высоту SO и KP, соединяющий середины противоположных сторон квадрата (см, чертеж). Е - середина SP (а всё  - средняя линяя MN:)).

СОВЕРШЕННО ОЧЕВИДНО, что если провести из точки Р перпендикуляр на КЕ, мы получим ответ задачи.  

Треугольник SKP равнобедренный, основание КР = 2, боковые стороны SK = SP = корень(5^2 - 1^2) = 2*корень(6); 

Задача свелась к тому, чтобы найти расстояние от точки Р до медианы КЕ.

Высота SO равна корень(24 - 1) = корень(23);

ясно, что высота треугольника KEP из точки Е к КР равна корень(23)/2;

осталось вычислить длину медианы КЕ.

по теореме косинусов для SPK 

b^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(K); K - угол при основании SKP. 

для медианы (2*КЕ)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*cos(K) = 2*a^2 + b^2 = 32;

КЕ = 2*корень(2); (любопытно, что это равно АС)

НУ и наконеЦ!!

2*корень(23)/2 = x*2*корень(2); (это площади треугольника КЕР записаны разным х = корень(23/2)/2; это примерно 1,6957

 

Можно было бы и числа подобрать поприятнее :(((

 

ЗЫ. А где это такие задания дают школьникам? чего то я не нашел тут простого пути, тут все надо по ходу использовать. И вряд ли я ошибся где - все проверяется, скажем высота SO = корень(23) получается и из самой пирамиды, и не похоже, что было задумано иначе :)))