З точки К - середини сторони ВС рівносторонього трикутника АВС проведено перпендикуляр КМ до сторони АВ. Знайдіть довжину КМ , якщо периметр трикутника АВС дорівнює 24см.

Дано: ABCD  ромб ; BD =30 ; AC =40 ; AK ⊥ (ABCD) ; AK= 10 .

d( K , CD) = d( K , BC) - ?

Проведем  из вершины A  высоту ромба :  AH  ⊥ CD  (AH = h) и соединим  точка H с точкой K . KH -наклонная  , AH ее проекция на  плоскости  ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD  ⊥  KH ,т.е.  KH есть расстояние от точки   K до  стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).

Сторона  ромба равно  a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² = 
 (1/2)*√ ( 30² +40)²  =(1/2)*50=25. 
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны  S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH  ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.

ответ :   26.

Перефразируем :
вершина M пирамиды равноудалена от всех сторон основания (ромба  ABCD ), высота MO=2 . Пусть AC =16 см ; BD =12 см. Найти боковые ребра . Условие подсказывает, что
высота проходит через центр O окружности вписанной в основании (ромб). Эта точка пересечения диагоналей AC и  BD. AO=CO =AC/2 =16 см/2 =8 см ; BO =CO =BD/2 =6 см. 
Из ΔAOM по теореме Пифагора:  MA = √(AO² +MO²) =√(8² +2²) =√68 =√4*17 =2√17 (см).
MC =MA = 2√17 см.
 Аналогично найдем MB =MD =√(BO² +MO²) =√(6² +2²) =√40=√4*√10=2√10 ((см).

ответ : 2√17 см  ; 2√10 см .