Тапсырма: Алмас тіктөртбұрыш тәріздес алаңға су құбырын тартуүшін алдымен 34м құбыр дайындады. Ал осы алаңдыдиагональ арқылы екіге бөліп, бір бөлікке су құбырынжеке тартса, 30м су құбыры керек. Егер Алмас суқұбырын диагональ бойымен ғана тартатын болса, қанша метр су құбыры қажет?​

ответ: √ 2/2

Объяснение: Пусть ABCD — правильный тетраэдр с ребром 1. Найдём расстояние между прямыми

AD и BC. Пусть M — середина AD, N — середина BC

Покажем, что MN является общим перпендикуляром к прямым AD и BC. В самом деле,

BM = MC; медиана MN равнобедренного треугольника BMC будет также его высотой, так

что MN ⊥ BC. Точно так же медиана NM равнобедренного треугольника AND будет его

высотой, поэтому MN ⊥ AD.

Итак, требуется найти MN. Имеем: BM =

√3/2, BN = 1/2, и тогда по теореме Пифагора:

MN =  √BM² − √BN² =  √2/2

На рисунке вопроса четырехугольник похож на ромб. В ромб можно вписать окружность, но и в некоторые другие четырехугольники - тоже.

Объяснение:  

 Стороны четырехугольника, в который вписана окружность, - касательные к ней.  

 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. (По т. о касательных)

 Примем отрезки касательных из т. А равными а, из т.В равными b, из т. С - равными с и из точки Д равными d. ( см. рисунок в приложении),

Тогда АВ=а+b, СD=с+d ⇒ АВ+СD=a+b+c+d

Аналогично ВС= b+c, АD=a+d ⇒ BC+AD=a+b+c+d. ⇒

АВ+СD=BC+AD - доказано.

Вывод: суммы длин противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Или иначе: если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.