Куб ABCDA1B1C1D1 расположен в системе координат так, как показано на рисунке. Сторона куба равна 2√2 . Запишите координаты точки, которая симметрична точке D относительно точки O.

Доказать равенство отрезков по представленному рисунку.

Доказательство:

Докажем, что AO = OC, исходя из признаков равенства треугольников.

1) Рассмотрим треугольники BCD и BAD.

BC = BA по условию (отмечено на рисунке);

CD = AD по условию (отмечено на рисунке);

BD - общая сторона.

Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔBCD = ΔBAD по третьему признаку (по трем сторонам).

2) В равных треугольниках соответствующие углы равны, соответствующие стороны равны.

Следовательно ∠CBD = ∠ABD, а значит ∠CBO = ∠ABO.

3) Рассмотрим треугольники CBO и BAO.

BC = BA по условию;
BO общая сторона;

∠CBO = ∠ABO из равенства треугольников BCD и BAD (см п.2).

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔCBO = ΔBAO по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

4) Так как в равных треугольниках соответствующие стороны равны, то АО=ОС.

Доказано.

1.Треугольник ABD = 1. Угол ВАD = CAD

2. BDA=CDA

треугольнику ADC

3.AD - общая сторона.

Второй признак равенства

треугольников

2.

Углы 1 и 2 вертикальные, значит они

равны, следовательно треугольники, по двум углам и стороне, равны. Исходя из этого, СD делиться попалам в точки О

3.

<АСО=<1 как вертикальные углы.

<BDO=<2 как вертикальные углы. Но

<1=<2, значит

<ACO=<BDO.

<AOC=<BOD как вертикальные углы.

Значит, треугольники АСО и BDO

равны по второму признаку: сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней

углам другого треугольника: - ОС=ОD по условию;

- <ACO=<BDO как доказано выше;

.<AOC=<BOD как доказано выше. У равных треугольников АСО и BDO равны соответственные углы А и В.

4.