Назовите неизвестные элементы параллелограмма

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60°. Отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, равен 3. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

      * * * 

Решение.

Двугранный угол измеряется величиной линейного угла между двумя лучами, проведенными перпендикулярно к одной точке ребра двугранного угла. 

 Боковая грань правильной пирамиды - равнобедренный треугольник.  Апофема МН и высота  СН основания перпендикулярны ребру АВ в его середине Н.  АН=ВН. 

Угол МНС - линейный  угол двугранного угла при основании пирамиды. 

Вершина правильной пирамиды проецируется в центр основания - точку пересечения его медиан ( высот, биссектрис). 

Высота пирамиды МО - перпендикулярна плоскости основания,⇒ 

 МО⊥СН. 

∆ МОН - прямоугольный, КО - его медиана. 

По свойству медианы прямоугольного треугольника МК=КН=КО=3, ⇒ МН=2•3=6

По условию ∠КНО=60°.

 В ∆ КОН стороны КО=НК ⇒ НО=КО=3 

СН медиана и высота основания АВС, 

 Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 

СН=3•ОН=9.

S ∆ ABC=CH•AB:2=0•6√3:2=27√3

S бок=3•МН•AB:2=3•6•6√3:2=54√3

Sполн=27√3+54√3=81√3 (ед. площади)

Решение:
Площадь треугольника находится по формуле:
S=1/2*bh  где b- основание треугольника; h-высота треугольника
Обозначим один из катетов за (х) дм, тогда второй катет, согласно условия задачи, равен (х-1)дм
По теореме Пифагора следует:
5²=(х)²+(х-1)²
25=х²+х²-2х+1
2х²-2х+1-25=0
2x²-2x-24=0
х1,2=(2+-D)/2*2
D=√(4-4*2*-24)=√(4+192)=√196=14
х1,2=(2+-14)/4
х1=(2+14)/4
х1=16/4
х1=4 (дм- один из катетов прямоугольного треугольника) - примем его за основание треугольника
х2=(2-14)/4
х2=-12/4
х2=-3 - не соответствует условию задачи
х-1=4-1=3(дм-второй катет) - примем его за высоту прямоугольного треугольника
Отсюда:
S=1/2*4*3=1/2*12=6(дм²)

ответ: Площадь треугольника 6дм²