Докажите, что отрезок, который соединяет середины противоположных сторон четырёхугольника, меньше половины суммы его диагоналей. ​

предыдущее решение полностью соответствует, я просто хочу показать геометрически понятное решение.

Треугольник надо достроить до параллелограмма, тогда третья сторона и удвоенная медиана - его диагонали. Поэтому половина третьей стороны - это медиана в треугольнике со сторонами (23, 11, 20), проведенная к стороне 20 :). 

Теперь можно воспользоваться формулой для медианы, но если не охота запоминать много формул - можно просто воспользоваться дважды теоремой косинусов (именно так и выводится эта формула)- для треугольника (23, 11, 20) и треугольника (23, с/2, 10), где с - третья сторона исходного треугольника (а с/2 - медиана в треугольнике (23, 11, 20), делящая сторону 20 пополам).

Если обозначить за Ф - угол между стороной 23 и медианой 10 исходного треугольника, то

11^2 = 23^2 + 20^2 - 2*20*23*cos(Ф);

(c/2)^2 = 23^2 + 10^2 - 2*10*23*cos(Ф);

Умножаем на 2 второе уравнение и вычитаем первое

2*(с/2)^2 - 11^2 = 23^2 + 2*10^2 - 20^2;

с^2/2 = 11^2 + 23^2 + 2*10^2 - 20^2 = 450;

c = 30;

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника R=a/√3 (где а-сторона треугольника)

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника r=a/2√3 .

Т.е. R/r=2. А так как площадь круга имеет квадратичную зависимость от радиуса окружности, то и площадь вписанной окружности будет в 2²=4 раз меньше, чем площадь описанной.

Найдем R из длины описанной окружности: R=24π/2π=12 (см)

Найдем площадь описанной окружности:

S₀=πR²=144π, значит площадь вписанной окружности

S₁=144π/4=36π.

Площадь кольца равна разности площадей описанной и вписанной окружностей:

S₀₋₁=S₀-S₁=(144-36)π=108π см²

ответ: площадь кольца 108π см²