5. Является ли равенство двух противолежащих углов четырехуголь-ника признаком параллелограмма?​

Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

ВЕ = DF (Е ⊂ ВС, F ⊂ AD).

Доказать :

Четырёхугольник AECF - параллелограмм.

Доказательство :В параллелограмме противоположные углы и противоположные стороны равны между собой (свойство параллелограмма).

Отсюда следует, что ∠В = ∠D, АВ = CD.

Рассмотрим ΔАВЕ и ΔCDF.

ВЕ = DF (по условию)

∠В = ∠D, АВ = CD (по выше сказанному) ⇒ ΔАВЕ = ΔCDF по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует и равенство сторон АЕ и CF.

AD = BC (по свойству параллелограмма), но в своё очередь AD = BE + EC ; BC = DF + AF. Учитывая равенство из условия получаем, что ЕС = AF.

Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм (свойство параллелограмма).

АЕ = CF ;  ЕС = AF (по выше сказанному) ⇒ четырёхугольник AECF - параллелограмм.

ответ :

Что требовалось доказать.

Основание пирамиды - правильный треугольник. Следовательно, радиус описанной около него окружности (ОС) равен удвоенному радиусу вписанной окружности
R=2*r = 6. А высота основания СН = 9.
Высота пирамиды равна 4, а высота основания =9. Следовательно, центр описанного шара лежит ниже плоскости основания пирамиды.
Центр шара Q лежит на линии высоты пирамиды и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды SC, а высотой – высота пирамиды SO. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОCQ.
В нем ОQ=Rш-H=Rш-4 (Н - высота пирамиды ,Rш - радиус шара), ОС=R=6 (радиус описанной около основания окружности).
Тогда по Пифагору QC²=ОС²+OQ² или Rш²=R²+(Rш-H)².
Раскрываем скобки: Rш²=R²+Rш²-2*Rш*Н+H²  или
Rш=(R²+H²)/2Н. В нашем случае Rш=(36+16)/2*4 = 6,5.
Объем шара V=(4/3)*π*R³ =(4/3)*3,14*274,625 + 3449,29/3 ≈1149,76 ≈ 1150.
ответ: Vш ≈ 1150.