Катет BC прямоугольного треугольника ABC равен 10 . Через вершину прямого угла C проведена прямая, от которой вершина A удалена на 3 , а вершина B — на 8 . Определите квадрат гипотенузы AB .

(см. объяснение)

Объяснение:

Первый

Пусть ∠ECB=a. Тогда, т.к. ∠ACB=90°, то . Соответственно . Значит треугольник AHC подобен треугольнику BEC по двум углам (∠AHC=∠BEC=90° и ∠ECB=∠HAC=). Из подобия следует, что . Тогда по теореме Пифагора для ΔABC: .

Приведу решение, в котором используется только теорема Пифагора:

Пусть AC=x. AH=3, а BE=8. Тогда из прямоугольного треугольника AHC . Из прямоугольного треугольника BCE . Значит . Проведем AF - высоту из точки A на BE. Тогда AFEH - прямоугольник => . По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника AFB . Но с другой стороны из прямоугольного треугольника ABC , т.е. получили уравнение , откуда x=5, а значит . Тогда .

Задача решена!

ВМ - медиана, следовательно, АМ=МС=2. 
Пусть точка пересечения окружности и ВС будет Н. 
ВН=СН. 
Угол ВНМ опирается на диаметр, следовательно, он прямой, и
МН - высота треугольника ВМС. Но она же и медиана, т.к. ВН=СН,   следовательно,
треугольник ВМС - равнобедренный и ВМ=МС=2
Медиана треугольника АВС равна половине длины основания. Это один из признаков прямоугольного треугольника. 
Треугольник АВС прямоугольный, АС в нем - гипотенуза. Половина гипотенузы и  медиана в нем является радиусами описанной окружности.

ВМ - медиана, следовательно, АМ=МС=2. 
Пусть точка пересечения окружности и ВС будет Н. 
ВН=СН. 
Угол ВНМ опирается на диаметр, следовательно, он прямой, и
МН - высота треугольника ВМС. Но она же и медиана, т.к. ВН=СН,   следовательно,
треугольник ВМС - равнобедренный и ВМ=МС=2
Медиана треугольника АВС равна половине длины основания. Это один из признаков прямоугольного треугольника. 
Треугольник АВС прямоугольный, АС в нем - гипотенуза. Половина гипотенузы и  медиана в нем является радиусами описанной окружности.