* З однієї точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні хорди, віддалені від центра на 6 см і 10 см. Знайдіть їхні довжини в

Пусть дан угол лежащий напротив основания и разность боковой стороны и основания равна а.
1) Построим равнобедренный треугольник ABC, у которого А - данный угол и AB=AC=a.
2) Проведем биссектрису угла ABC
3) Через точку B проведем перпендикуляр к этой биссектрисе до пересечения его с прямой AC в точке D.
4) Через точку D проведем прямую параллельную BC до пересечения ее с прямой AB в точке E. Тогда треугольник EAD - искомый.

Обоснование: т.к. BC||DE, то ∠ABC=∠BED.
∠EBD=180-∠ABC/2-90=90-∠ABC/2
∠BDE=180-∠EBD-∠BED=180-(90-∠ABC/2)-∠ABC=90-∠ABC/2, т.е.
∠EBD=∠BDE, т.е. BE=DE. Отсюда AE-DE=AE-BE=a.

P.S. Если дан один угол равнобедренного треугольника, то найти остальные дополняя до 180 °- не проблема :)

АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР.
Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны.
В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144,
АМ=12 см, АС=2АМ=24 см.
Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ.
По теореме биссектрис  в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС.
АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС.
КВ=40(40-КВ)/24,
24КВ=1600-40КВ,
64КВ=1600,
КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6
Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.