:биссектриса угла bac треугольника abc пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке m. докажите, что mb=mc.

так как ам биссектриса, то углы вам и мас равны => дуги вм и мс равны => хорды вм и мс равны

Треугольник авс - прямоугольный, ∠в=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90° сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника авс. ∠а+∠в+∠с=90° поскольку по условию cab=2*acb, значит в треугольнике авс ∠а=2*∠с, выходит 2*∠с+90°+∠с=180° 3*∠с=90° ∠с=30°. значит ∠а=2*∠с=2*30°=60°. рассмотрим прямоугольный треугольник авс дальше: ас-гипотенуза, ав и вс - это катеты cos ∠а=ав/ас sin ∠а=вс/ас cos ∠а=cos 60°=1/2=0,5 sin ∠а=sin 60°=√3/2=0,5√3 cos ∠а=ав/ас 0,5=ав/ас, отсюда ав=0,5ас=0,5*10см=5см sin ∠а=вс/ас 0,5√3=вс/ас, отсюда вс=0,5ас√3=0,5*10√3=5√3 см у прямоугольника противоположные стороны равны, значит ав=се=5 см вс=ае=5√3 см периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть периметр=ав+вс+се+ае периметр=5+ 5√3+ 5+5√3 периметр=10+10√3 периметр=10*(1+√3) см ответ: периметр прямоугольника = 10*(1+√3) см

∠авс = ∠dcb = 150°, так как трапеция равнобедренная.

сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°:

∠ваd = ∠cda = 180° - 150° = 30°

проведем высоты вн и ск.

δавн: ∠анв = 90°, ∠ван = 30°, tg∠bah = bh/ah,

ah = bh / tg30° = √3 / (√3/3) = 3.

δавн = δdck по гипотенузе и катету (ав = cd так как трапеция равнобедренная, вн = ск как высоты трапеции), ⇒

kd = ah = 3.

нвск - прямоугольник (вн║ск как перпендикуляры к одной прямой, вн = ск как высоты трапеции), значит

нк = вс = 8.

ad = ah + hk + kd = 3 + 8 + 3 = 14

sabcd = (ad + bc)/2 · bh = (14 + 8)/2 · √3 = 11√3 кв. ед.