Від точки B відрізка AC по один бік від прямої AB проведено два промені BD і BK. Градусні міри кутів ABD і CBD відносяться як 4:11. Знайдіть градусну міру кута ABK, якщо промінь BK є бісектрисою кута DBC

Не любая
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
 Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.

Если сделать рисунок, то будет понятно, что радиус этой окружности - катет АС данного прямоугольного треугольника.

Если окружность имеет с прямой только одну общую точку, то эта прямая - касательная к этой окружности.

Вершина угла А - точка касания.

 Радиус окружности найдем по теореме Пифагора или вспомнив, что три стороны этого треугольника из так называемых троек Пифагора с отношением сторон 5:12:13. 

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Треугольник, длины сторон которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, то есть, все его стороны и площадь являются целыми числами.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Катет АС=12 см, и является радиусом данной окружности