Знайти сторону ромба, якщо його гостий кут дорівнює 60 градусів, а менша діагональ-10см.

ответ:  Угол DOM=69°

Объяснение: Сделаем рисунок. Обозначим  точку пересечения АК и LD буквой Е и рассмотрим ∆ АЕД и ∆ LMD. Они прямоугольные ( DL перпендикулярна АК по условию)  и имеют общий угол при вершине D. Он равен градусной мере развернутого угла  без  ∠DEA и  без ∠ЕАD. Угол ЕDA= 90°-24°=66°. ⇒ ∠ МLD=∠КАD=24°

LM⊥AD (дано) ⇒  LМ║CD. ⇒ LМ=CD. Т.к. АВСD – квадрат, то LM=AD.

∆ АКD=∆ LDМ по катету ( LM=AD) и острому углу при вершине D.  Поэтому  KD=MD. Катеты прямоугольного треугольника АDМ  равны. следовательно, его острые углы равны 45°. ⇒∠OMD=45°

Из суммы углов треугольника

Угол DOM=180°-∠ОМD-∠МDО=180°-45°-66°=69°

 Окружность, вписанная в правильный многоугольник, и окружность, описанная около него, имеют общий центр, причем, так как стороны многоугольника - касательные для вписанной окружности, её  радиус  является высотой равнобедренного треугольника соединяющего центр с вершинами описанного многоугольника. (см. рисунок).

На рисунке О - центр окружностей, ОА=ОВ=R=8, ОН=r=4√3. Треугольник ОНВ  прямоугольный. Sin∠OAH=ОН:ОА=4√3:8=√3/2 - это синус 60°. Следовательно, в равнобедренном треугольнике углы при АВ=60°, ⇒ ∠АОВ=60°, а  ∆ АОВ - равносторонний. Сторона  данного многоугольника АВ=8. Угол АОВ - центральный, делит окружность на 360°:60°=6 равных углов, противолежащих каждой стороне многоугольника. ⇒ Данный многоугольник имеет 6 сторон.