Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ1 перетинае сторону АС цього трикутника в точці А1, стоpону ВС - у точці В. Знайдіть довжину відрізка АВ якщо АВ =15 см, АА1 : АC= 2:3.

Трапеция АВСД (боковые стороны АВ=СД=3, диагональ АС=ВД=3, <АСД=90°)
Из прямоугольного ΔАСД: 
АД=√(АС²+СД²)=√9+16=√25=5
Опустим высоту трапеции СН из вершины С на основание АД (она же высота ΔАСД, опущенная из прямого угла на гипотенузу)
СН=√АН*НД
Известно, что в равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований
АН=(АД+ВС)/2=(5+ВС)/2
НД=(АД-ВС)/2=(5-ВС)/2
СН²=(5+ВС)/2*(5-ВС)/2=(25-ВС²)/4
Также СН²=СД²-НД²=9-(5-ВС)²/2²=(36-(25-2ВС+ВС²))/4=(11+2ВС-ВС²)/4
Приравниваем
(25-ВС²)/4=(11+2ВС-ВС²)/4
25=11+2ВС
ВС=14/2=7 что невозможно, т.к. ВС<АД
Значит в задаче ошибка какая-то

1.Один из смежных углов х°, другой (х+32)°Сумма смежных углов 180°х+(х+32)=1802х+32=1802х=180-322х=148х=7474+32=106ответ.74°; 106° 2.
см. рисунок
Вертикальные углы равны между собой.
Один угол х° и второй тоже х°
х+х=146
2х=146
х=73°
Два смежных с ними 180°-73=107°
 ответ 73°;107°73°107°

3.
см. рисунок
х+х+180-х=202
х=202-180
х=22
ответ. 22°; 158°;22°

4. см. рисунок
Один из данных углов х, второй 2х
х:2х=1:2
Смежный с первым 5у, смежный со вторым 4у, 5у:4у=5:4
Сумма смежных углов 180°
х+5у=180        ⇒     х=180-5у
2х+4у=180      ⇒  2·(180-5у)+4у=180;    360-10у+4у=180;      6у=180      у=30°

5у=150°
4у=120°
х=180°-150°=30°
2х=60°
ответ. один угол 30°, второй угол 60° 
30:60=1:2
смежный с первым 150°
смежный со вторым 120°
150°:120°=5:4