Решите эти 3 задачи из олимпиады, от не корысти ради, а только для поддержания моего существования. Даны три задачи из геометрии и немного из алгебры.

ответ ко второму рисунку.

Скорее всего, надо определить коэффициенты квадратного уравнения.

Отрезок ОС даёт значение коэффициент с.

Его длина - среднее геометрическое между отрезками АО и ВО.

Получили координаты точки С(0; (-1/6)).

То есть определён коэффициент с = -1/6.

Используем координаты точек А и В для подстановки в уравнение параболы.

Решаем систему из двух уравнений с неизвестными a и b.

Решая систему, получаем результат: а = 6, b = (-5/6).

ответ: уравнение параболы у=6x² - (5/6)x - (1/6).

Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).

Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:

SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.

Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.

Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.

Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.

V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как

2Sinα*Cosα = Sin2α).

ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.

Параллелограмм переходит сам в себя при повороте на 180° вокруг точки пересечения диагоналей (пусть - верменно - эта точка называется "центр" параллелограмма). Это означает, что  центры "противоположных" квадратов лежат на прямой, проходящей через "центр" параллелограмма.

Из приведенного рисунка видно, что фигура является частью ЗАМОЩЕНИЯ плоскости. То есть фигура, состоящая из 4 квадратов и 5 параллелограммов (на рисунке эта фигура обведена жирным) путем сдвига покрывает всю плоскость. В самом деле, противоположные ломанные "стороны" этой фигуры повторяют друг друга, то есть при смещении на какое-то расстояние переходят сами в себя.

В силу этого ВСЕ центры квадратов и параллелограммов лежат в узлах прямолинейной сетки. Дальше под словом "сетка" я имею ввиду  сетку, в узлах которых лежат центры фигур (и квадратов, и параллелограммов). Сетка эта (как уже доказано) равномерная и прямолинейная (как говорят в таких случаях - обладает трасляционной инвариантностью :) ) 

Чтобы доказать, что эта сетка "квадратная" (то есть узлы лежат в вершинах квадратов), достаточно повернуть всю ЗАМОЩЕННУЮ плоскость вокруг цетра одного из квадратов (любого) на 90°. Проскольку сам квадрат при этом перейдет в себя, автоматически перейдет в себя и вся сетка узлов. 

Но это означает - поскольку все узлы сетки (центры фигур) для самой сетки равнозначны, что сетка переходит сама в себя и при повороте на 90° вокруг центра параллелограмма. 

Поэтому все центры квадратов лежат в вершинах квадрата.