1.130. Меньшее основание BC трапеции ABCD равно 4 см. Через вершину В про-ведена прямая, параллельная стороне CD.Чему равен периметр трапеции, если пери-метр полученного треугольника равен 12 см(рис. 1.65)​

1. Поскольку трапеция равнобедренная, то два угла при основании равны 135 градусам. Зная, что сумма углов трапеции равна 360 градусам (по вертикальным углам, образованным параллельными прямыми), найдем сумма двух других углов:

360 - 2 * 135 = 90

Соответственно, каждый из двух углов при бОльшем основании равен 45 градусам.

 

2. Опустим из одной вершины трапеции высоту. (Не для записи: например, трапеция ABCD, опустили высоту BE. А вообще, так и рисуй))). Рассмотрим полученный треугольник АВЕ. Он прямоугольный, а угол ВАЕ равен 45 градусам (см. п.1). Угол АВЕ тоже будет равен 45 градусам (180 - 90 - 45), а значит, треугольник АВЕ - равнобедренный. 

Зная гипотенузу и то, что катеты равны, воспользуемся теоремой Пифагора:

25 = 2 ВЕ^{2}

ВЕ^{2} = 25 / 2

ВЕ = АЕ = 5 / \sqrt{2}

 

3. Теперь, зная высоту трапеции, можем вычислить ее площадь по формуле

S = m * h, где m - средняя линия, а h - высота.

S = 8 * 5 / \sqrt{2} = 40 / \sqrt{2} кв.см

Пусть этот треугольник будет АВС. 
Медианы треугольника точкой пересечения О делятся в отношении 2:1, считая от вершины. 
Тогда основание и части медиан, идущие от вершин при основании, образуют треугольник  АОС со сторонами  АС=26,  АО=39:3*2 =26,  и СО= 30:3*2=20. 
По формуле Герона площадь треугольника АОС будет 240 ( проверьте).
Медианы делят треугольник на равновеликие треугольники.  Если из В провести третью медиану, то треугольник будет разделен на 6 равных по площади треугольника. 
Треугольник АОС равен 1/3 площади исходного треугольника. 
Площадь ∆ АВС равна
S=240*3=720 (ед. площади)