Точки C и K лежат по одну сторону от диаметра AB. Найдите угол ABK если угол BCK=35

Площадь боковой поверхности конуса S = π * R * L, где 
R - радиус основания конуса, L - длина образующей конуса

В прямоугольном треугольнике AOB:
высота конуса AO - катет
радиус основания конуса BO - катет
образующая конуса AB - гипотенуза
∠ABO = 74°

Катет BO прилежит к ∠ABO, найдем длину катета через косинус известного угла. Косинусом ∠ABO является отношения прилежащего катета BO к гипотенузе AB. По таблице Брадиса находим, что косинусу 74° соответствует величина 0,2756

cos(∠ABO) = BO / AB
BO = AB * cos(∠ABO)
BO = 28 * cos74° = 28 * 0,2756 = 7,7168 (см)
R = 7,7168 (см)

S = π * 7,7168 * 28 = 3,1416 * 216,0704 ≈ 679 (см²)

Введем обозначения: треугольник ABC, где AB - основание равнобедренного треугольника, С - его вершина. O - центр вписанной окружности, N - середина основания, окружность касается боковой стороны CA в точке K. Если рассмотреть прямоугольный треугольник CNA (угол N - прямой), то нетрудно показать, что |AN| = |KA|, а радиус вписанной окружности равен |OK| и |ON|. 

Из условия не очень понятно точка K делит сторону CA так, что |CK|/|KA| = 9/8 или 8/9. Рассмотрим сначала первый случай. Пусть |CK| = 9x, |KA| = |AN| = 8x. Тогда по теореме Пифагора высота треугольника |CN| = корень((9x+8x)^2 - (8x)^2) = x*корень(81 + 2*9*8) = x*корень(225) = 15x.

Радиус вписанного круга равен |OK|, длину которого нетрудно найти из подобия: |OK|/|KС| = |AN|/|CN|:  

|OK| = |KС|*|AN|/|CN| = 9x*8x/15x = 24x/5

Для того, чтобы наконец избавиться от x вспомним, что длина окружности 48п заданная в условии равна 2пR, то есть:
48п = 2п*24x/5
или
x = 5

Основание треугольника |AB| = 2*8x = 80, высота |CN| = 15x = 75, площадь 80*75/2 = 3000,.. ну если я ничего не напутал. :)