основание прямой призмы- равнобедренный треугольник , в котором боковая сторона равна 5 см, а высота, проведенная к основанию 4 см. Диагональ боковой грани содержащей основание треугольника равно 10 см. найдите боковое ребро призмы

Из условия задачи следует, что угол при основании треугольника АВС равен 30 град. Обозначим сторону равнобедренного треугольника через а, основание через b, радиус описанной окружности через R. 
Половина основания b/2=а*cos(30)=a*sqr(3)/2,  b=a*sqr(3)
Известно, что:
R=a^2/sqr(4a^2-b^2)
Подставив значение b, получим: R=a
Отсюда: АВ=2 см
Во второй задаче центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, поскольку радиусы опущенные из центра в точки М, Т и Р, образуют пары равных прямоугольных треугольников (ВОМ и ВОТ и т.д.). Четырехугольник РОТС является квадратом, так как радиусы проведены в точки касания и перпендикулярны катетам. По условия диагональ этого квадрата равна корень из 8, следовательно сторона будет в корень из двух раз меньше, отсюда:
r=sqr(8/2)=2   Угол ТОР=90 град. Угол ТМР является вписанным, он измеряется половиной дуги, на которую опирается. Дуга составляет 90 градусов, так как ограничена точками Р и Т, а угол РСТ прямой. Следовательно угол ТМР=45 град.                                                                                                      

если соединить середины сторон параллелограмма, то отрезки будут праллельны его диагоналям и являтся средними линиями треугольников, на которые он делится диагоналями.  Средняя линия делит треугольник на два подобных с коэффициентом подобия 1/2. Отношение площадей - коэффициент подобия в квадрате -1/4. Значит площадь треугольников 2* 6:4=3. Площадь основного параллелограмма равна сууме  площади внутреннего  параллелограмма и площадей треугольников, которые отсекают стороны внутреннего параллелограмма от основного.  Значит площадь внутреннего паралаллеограмма равна 6-3=3