Прямые AD и BC пересекаются в точке О. Углы АОВ и СОД равны. Внутри угла АОВ взята точка М, а внутри угла COD – точка К. угол AOB = 1200, угол MOB= 500, угол KOD = 700. Найдите углы АОМ и СОК. Являются ли углы MOB и СОК вертикальными ОЧЕНЬ ОЧЕНЬ

Отрезок КС - наклонная, КО - перпендикуляр. 
КD и СА - параллельны по условию. КС - секущая при параллельных прямых. ⇒накрестлежащие  ∠DКС и ∠КСА равны. 
Равны при параллельных прямых KD и AC и секущей  МА и соответственные ∠МКD и ∠КАС 
 Углы при АС равны между собой как половины угла МКС, и
треугольник АКС - равнобедренный (по свойству).
КА=КС 
Теорема: Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. 
 КО < КС.  ⇒ КA > KO

Обратим внимание на отношение сторон треугольника АВС.  
АВ:ВС:АС=3:4:5. Это отношение сторон египетского треугольника. ⇒  
  ∆ АВС - прямоугольный.  
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.  
S ∆ АВС=12*16:2=96 см² 
Высота из вершины В для треугольников АВК и СВК общая.  
Отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению их оснований.  
S ∆ ABC: S ∆ABK=20:5=4⇒ 
S ∆ ABK=96:4=24 см² 
S ∆ ABC: S ∆ CBK=20:15=4/3 
S ∆ CBK=96:4*3=72 см²   
или   
 S ∆ CBK=S ∆ ABC - S ∆ ABK=96-24=72 см² 
------- 
Площадь ∆ АВС можно найти по формуле Герона, или предварительно найдя высоту ∆ АВС.  В результате решения ответ получим тот же.