Дан треугольник АВС. ВМ и АD – биссектрисы треугольника, которые пересекаются в точке О. Найдите все углы треугольника АОВ, если известно, что ∟ВАС = 60°, ∟АВС = 80°. Сумма всех углов треугольника АВО равна 180°.

Вообщем я немного упростила это решение

Пусть большее сечение лежит выше центра шара по оси Z , его радиус 12 и центр в точке (0;0;z0)

Тогда его уравнение будет x^2+y^2+z0^2=R^2

Здесь R радиус сферы. Так как радиус большего сечения 12(24pi/2pi), то уравнение большего круга

Будет 12^2+z0^2=R^2

Меньшее сечение x^2+y^2+(z0+7)^2==R^2; 25+z0^2+14z0+47=R^2

Вычитаю из первого второе , получу

119-17z0-49=0

-14z0=-70

Z0=5

Выходит большее сечение находится от центра шара по оси z на расстоянии 5, значит

R^2=5^2+12^2=169

R=13

S(cф)=4pi*13^2=676pi

Равновеликие треугольники это значит что их площадь равна, вычисляем площадь треугольника МРК по трем сторонам используя формулу Герона:
S=корень квадратный из p*(р-МР)*(р-РК)*(р-МК), где р это полупериметр, p=(МР+РК+КМ)/2=(9+10+17)/2=18, тогда S=корень квадратный из 18*9*8*1=36. Это мы нашли площадь треугольника МРК.
Значит площадь треугольника АВС тоже 36 кв. см.

Теперь используем свойство высоты равнобедренного треугольника (В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой), значит проводим высоту СД. она делит основание пополам, значит АД=ДВ=12/2=6 см.

Теперь по формуле вычисления площади треугольника вычисляем длину высоты СД в треугольнике АВС:
S=1/2 АВ*СД, значит 36=1/2*12*СД, СД=36/6=6 см.

Теперь мы знаем основание и высоту треугольника АВС, а по
свойству углов равнобедренного треугольника мы знаем, что углы при основании равны и нам нужно найти только один угол в прямоугольном треугольнике АСД (угол СДА прямой, так как СД это высота). Если в прямоугольном треугольнике АСД мы знаем два катета АД=6 см и СД=6 см, это значит, что треугольник АСД равнобедренный. По свойствам суммы углов треугольника мы вычисляем сумму углов ДАС и АСД: 180-90=90 и делим пополам, так как эти углы равны 90/2=45.
Итак, мы знаем угол САД (он же САВ), и он равен углу СВА и равен 45 градусов.