На прямой АВ отметьте все такие точки О, для которых 3АО= 2ОВ. Вычислите длину отрезка ВО, если АВ=10 см. С рисунком

В данном случае не имеет значения что лежит в основании пирамиды-треугольник, квадрат и т.д. При заданных площадях ответ будет одинаковым. Поэтому для простоты нарисуем треугольную пирамиду(смотри рисунок). Треугольники АSС и А1SС1 подобны поскольку АС1 параллельна АС. Следовательно площади треугольников АВС и А1В1С1 относятся как квадраты сходственных сторон А1С1 и АС. Но с тем же коэффициентом подобия в этих треугольниках относятся и стороны А1S и АS. А эти стороны, в свою очередь являются гипотенузами прямоугольных треугольников А1SО1 и АSО(они так же подобны). Следовательно и отношение (ОS/O1S) в квадрате также будет равно отношению указанных площадей, что и приводится в решении(смотри рисунок). ответ Н=35.

Достроим ΔABC до прямоугольника AB'CB. O - центр AC, эта точка является центром симметрии для прямоугольника. Поэтому, если M' - середина B'C, то CM║AM'.

∠BMC = ∠BAM', как соответственные углы при CM║AM' и секущей BA.

∠BAM' = ∠CAB+∠CAM' ⇒ ∠BAM'=∠BMC > ∠CAB. Первая часть неравенства доказана.

В прямоугольном ΔMBC (∠B=90°): MB<MC т.к. катет меньше гипотенузы.

BM=AM т.к. CM - медиана.

В ΔMAC:

AM<MC ⇒ ∠ACM < ∠CAM  т.к. в одном треугольнике напротив меньшей стороны находится меньший угол.

Получили: ∠CAB > ∠ACM. Вторая часть неравенства доказана.

В итоге ∠BMC > ∠CAB > ∠ACM ч.т.д.