Дан отрезок длины 1. построить циркулем и линейкой отрезок длины

1. проводим прямму а (базовое построение)

2. обозначем точку а на пряммой а (базовое построение)

3. через точку а проводим пряммую с, перпендикулярную пряммой а (базовая на построение)

4. откладываем от точки а отрезки ас и ав длиной равные данному отрезку 1. (базовое построени). получим прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна вс=

5. продолжаем отрезок от точки с на отрезок равный данному, получим большой отрезок длинной вр=1+\sqrt{2} (базовое построение)

6. на єтой же пряммой далее от точки р откладываем отрезок рк равный данному с длиной 1.

7. делим отрезок вк пополам (базовая на построение)

8. из середины о отрезка вк радиусом во проводим окружность (базовое построение)

9. через точку р проводим перпендикулярную пряммую рх,(базовая на построение) она пересечет окружность в двух точках, берем одну из них обозначаем н,

отрезок искомый

Находим длины сторон заданного  треугольника. расстояние между точками: d =  √ ((х₂   - х₁   )² + (у₂   - у₁   )² + (z₂   – z₁   )²)подставим координаты точек и получаем:         ав                     вс                       ас       √18                         √422                       √440 4.2426407            20.542639              20.97618.как видим, сумма квадратов сторон ав и вс равна квадрату стороны ас. а это признак прямоугольного треугольника.требуемое доказано.

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов. катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2. максимальная площадь равна sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед. это доказывается так: пусть катеты равны х и у. по пифагору 10² = х² + у². отсюда у =  √(100-х²). функция площади s = (1/2)x* √(100-х²).найдём производную и приравняем нулю.s' = (50-x²)/√(100-x²) = 0. для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).50-х² = 0. х =  √50 = 5√2, у при этом равен  √(100-(5√2)²) =  √(100-50) =  √50 = 5√2. то есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.