Через вершину острого угла прямоугольного треугольника авс с прямым углом с проведена прямая аd, перпендикулярная плоскости треугольника. чему равно расстояние от точки d до вершины с, если ас = 6 см; аd = 8 см.

Такое изящное решение : ) из точки а выходят три луча - ad и два симметричных (то есть образующих с лучом ad равные углы) ac и ab. на луче ас, помимо точки e, такой, что ed перпендикулярно ad, надо отметить точку b1, так, что ab1 = ab; точно так же можно на продолжении луча ab отметить точки e1 и c1, симметричные точка е и с относительно ad. ясно, что отрезок b1c1, проходящий через точку d, симметричен отрезку bc, и угол cde = угол e1db = угол edb1; то есть в треугольнике b1dc de - биссектриса, и ce/eb1 = cd/db1; но db1 = db, и  cd/db = b/c;   если для простоты записи теперь обозначить се = z; eb1 = y; ae = x; то x + z = b; x - y = c; z/y = b/c; собственно, все уже решено. осталось последовательно исключить сначала z, потом y, и останется выражение для x, который и надо найти. z = y*b/c; y = x - c; x + b*(x - c)/c = b;   x = 2*b*c/(b + c);  

Этого построения самого по себе маловато, если продлить ан до пересечения с описанной окружностью в точке е, и построить еще точку е' аналогично точке а', то есть построить вписанный прямоугольник аее'а', то угол оан - это угол е'ае, равный углу ае'a', который опирается на дугу аа', равную разности дуг cа' и ca (в предположении, что угол с больше угла в, что не существенно).  поскольку дуга са' очевидно равна дуге ва (точнее, сразу видно, что равны заключенные между параллельными аа' и вс дуги ва' и  ас, а отсюда уже следует равенство дуг  са' и ва), то вписанный угол  ае'a' равен разности углов с и в, опирающихся на соответствующие дуги.  всё доказано.