7. Трикутник АЅD і трапеція ABCD мають спільну сторону АD і лежать в різних площинах. Через основу ВС трапеції і середину відрізка ЅD точку H проведено площину, яка перетинає пряму АЅ вточці К. Знайдіть HK, якщо AD 10 см.​

Даны точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12).

Находим уравнение плоскости через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2 y - 1 z - 8

(-1) - 2 3 - 1 4 - 8

3 - 2 0 - 1 12 - 8

 = 0

x - 2   y - 1         z - 8

-3            2           -4

1       -1           4

 = 0

x - 2  2·4-(-4)·(-1)  -  y - 1  (-3)·4-(-4)·1  +  z - 8  (-3)·(-1)-2·1  = 0

4 x - 2  + 8 y - 1  + 1 z - 8  = 0

4x + 8y + z - 24 = 0.

Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".

(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.

(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.

Получили вершины тетраэдра:

А(6; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 3; 0) и Д(0; 0; 24).

Находим длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.

АС = √(3² + 6²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5.

ВК = (3*6)/(3√5) = 6/√5.

АД = √6² + 24²) = √(36 + 576) = √612 = 6√17.

ВМ = (6*24)/(6√17) = 24/√17.

СД = √(3² + 24²) = √(9 + 576) = √585 = 3√65.

ВЕ = (3*24)/(3√65) = 24/√65.

Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.

ДК = √(24² + ВК²) = √(576 + (36/5)) = √(2916/5).

СМ = √(3² + ВМ²) = √(9 + (576/17)) = √(729/17).

АЕ = √(6² + ВЕ²) = √(36 + (576/65)) = √(2916/65).

Теперь можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,образованного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12) .

Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos(ДКВ) = ВК/КД = (6/√5)/(√(2916/5)) = 6/√2916 = 1/9.

Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos(СМВ) = ВМ/СМ = (24/√17)/(√(729/17)) = 6/√2916 = 8/9.

Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos(ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/√65)/(√(2916/5)) = 24/√2916 = 4/9.