[ ] В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно так, что MN ∣∣ AC и AM = BN . Найдите MN , если AB = 4 , BC = 8 , AC = 6 . В ответ запишите только число.

Давайте рассмотрим данный треугольник ABC.

Для начала, давайте разберем, что означает условие MN ∣∣ AC. Это значит, что отрезок MN параллелен отрезку AC, то есть линия, проходящая через MN, и линия, проходящая через AC, никогда не пересекаются и всегда остаются параллельными.

По условию задачи, AM = BN. Это означает, что отрезки AM и BN имеют равные длины.

Также дано, что AB = 4, BC = 8 и AC = 6.

Давайте рассмотрим отношение длин отрезков AM и AB. Мы знаем, что AM = BN, поэтому длина отрезка BN также равна 4.

Теперь, если мы посмотрим на отрезок BC, то мы можем заметить, что BN является меньшим отрезком BC. Таким образом, мы можем предположить, что отношение длин отрезков BN и BC будет таким же, как отношение длин отрезков AM и AB.

То есть, BN/BC = AM/AB.

Подставив известные значения, получаем:
4/8 = AM/4.

Упростим это выражение:
1/2 = AM/4.

Чтобы найти значение AM, умножим обе части уравнения на 4:
4(1/2) = AM.
2 = AM.

Таким образом, мы нашли значение отрезка AM - оно равно 2.

Теперь мы можем перейти к нахождению отрезка MN.

Используя теорему Талеса, которая гласит, что если есть две параллельные прямые, пересекаемые третьей прямой, то соответствующие отрезки на этих прямых пропорциональны, можем установить следующую пропорцию:

AM/AB = MN/AC.

Подставим известные значения:
2/4 = MN/6.

Упростим выражение:
1/2 = MN/6.

Чтобы найти значение MN, умножим обе части уравнения на 6:
6(1/2) = MN.
3 = MN.

Таким образом, мы нашли значение отрезка MN - оно равно 3.

Ответ: MN = 3.