Впрямоугольном треугольнике точка соприкосновения вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 3 см и 10 см. найдите радиус окружности, если периметр треугольника равен 30 см.

Пусть нижнее (большее) основание равно a; верхнее равно b, а боковые стороны равны c.  поскольку в трапецию вписана окружность, суммы противоположных сторон равны, откуда с=(a+b)/2. кроме того,   s трапеции равна полусумме оснований на высоту, которая у нас равна двум радиусам  ⇒ s=(a+b)r⇒a+b=s/r; c=s/(2r). совершив стандартную процедуру - опустив высоты из вершин верхнего основания на нижнее, разбиваем нижнее на три отрезка, средний из которых равен b, а крайние равны (a-b)/2.  один из таких отрезков вместе с боковой стороной и высотой образуют прямоугольный треугольник, из которого находим нижний катет (я там уже избавился от двойки в знаменателе): a-b=2√(s^2/(4r^2)-4r^2)=√(s^2-16r^2)/r вспомнив a+b=s/r, получаем формулы для a и b: a=(s+ √(s^2-16r^2))/(2r);     b=(s- √(s^2-16r^2))/(2r)

Расстояние между двумя точками вычисляются по формуле ав=√(х2-х1)²+(у2-у1)². нf=√(6-1)²+(3-3)²=√25=5. fq=√(6-1)²+(3-8)²=√50=5√2. нq=√(1-1)²+(8-3)²=√25=5. δhfq - равнобедренный hq=hf=5. можно сразу определить вид данного треугольника: прямоугольный равнобедренный, значит острые углы по 45°. ответ: 45 °. но можно по формуле косинусов определить острый угол с. fq²=hf²+hq²-2·hf·hq·cosh=25+25-2·5·5·cosh=50. 50-50·cosh=50. 50(1-cosh)=50. 1-cosh=50/50. 1-cosh=1. cosh=0. ∠h=90°, значит два острых угла равны по 45°. ответ: ∠f=45°.