Высота треугольника ВЕ делит сторону АС в соотношении 3:5.В каком соотношении серединный перпендикуляр GF, проведённый к основанию делит боковую сторону ВС?

Доказать равенство отрезков по представленному рисунку.

Доказательство:

Докажем, что AO = OC, исходя из признаков равенства треугольников.

1) Рассмотрим треугольники BCD и BAD.

BC = BA по условию (отмечено на рисунке);

CD = AD по условию (отмечено на рисунке);

BD - общая сторона.

Третий признак равенства: если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔBCD = ΔBAD по третьему признаку (по трем сторонам).

2) В равных треугольниках соответствующие углы равны, соответствующие стороны равны.

Следовательно ∠CBD = ∠ABD, а значит ∠CBO = ∠ABO.

3) Рассмотрим треугольники CBO и BAO.

BC = BA по условию;
BO общая сторона;

∠CBO = ∠ABO из равенства треугольников BCD и BAD (см п.2).

Первый признак равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

ΔCBO = ΔBAO по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).

4) Так как в равных треугольниках соответствующие стороны равны, то АО=ОС.

Доказано.