Самостоятельная работа по геометрии

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Дано: ΔАВС, КМ - средняя линия.
Доказать: КМ ║ АС, КМ = АС/2

Доказательство:

1. Через точку К (середину стороны АВ) проведем прямую, параллельную стороне АС.
По теореме Фалеса эта прямая разделит сторону ВС пополам, значит пройдет через точку М.
Средняя линия КМ лежит на прямой, параллельной АС, значит
КМ ║ АС.
2. Через точку М проведем прямую, параллельную стороне АВ.
По теореме Фалеса она разделит сторону АС пополам. Н - середина АС.
АКМН - параллелограмм, так как КМ ║ АН и МН ║ АК по построению, значит КМ = АН = АС/2

Точка пересечения CD и BE - M, третья чевиана AF;
Тогда из теоремы Ван-Обеля
AM/MF = AD/DB + AE/EC = a + b;
или
AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
Из теоремы Чевы
(AD/DE)(BF/FC)(CE/EA) = 1; то есть BF/FC = a/b;
или, то же самое, BF/BC = a/(a + b); CF/BC = b/(a + b);
То есть если площадь ABC равна S, то площадь ABF равна
Sabf = S*a/(a + b);
Если сравнить площади треугольников ABF и ABM, у которых общая сторона AB, то они пропорциональны расстояниям от точек F и M до AB; а эти расстояния пропорциональны AM и AF; то есть
Samb/Safb = AM/AF = (a + b)/(a + b + 1);
далее, отношение площадей треугольников AMD и AMB равно b/(b + 1);
собирая все это, можно получить
Samd = S*a/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*b/(b + 1)
точно также можно найти
Same = S*b/(a + b)*(a + b)/(a + b + 1)*a/(a + 1);
и остается сложить.
Saemd/S = ab(1/(a + 1) + 1/(b + 1))/(a + b + 1) = (a/(a + 1))(b/(b + 1))(a + b + 2)/(a + b +1) как то так...