Точки A (-1; 2) и В (7; 4) являются вершинами прямоугольного треугольника. Может ли третья вершина треугольника иметь координаты: 1) (7; 2); 2) (2; -3)?

Добрый день!

Для решения данной задачи нам необходимо проверить, является ли третья вершина треугольника прямоугольным треугольником через проверку сторон треугольника.

1) Проверим возможность третьей вершины с координатами (7, 2):
- Найдем длины сторон треугольника. Для этого нужно использовать теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.
- Расстояние между точками A и B: AB = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]
AB = √[(7 - (-1))^2 + (4 - 2)^2]
= √[(7 + 1)^2 + (4 - 2)^2]
= √[8^2 + 2^2]
= √[64 + 4]
= √68
≈ 8.246
- Расстояние между точками A и третьей вершиной C (7, 2): AC = √[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]
AC = √[(7 - (-1))^2 + (2 - 2)^2]
= √[(7 + 1)^2 + (0)^2]
= √[8^2 + 0]
= √[64 + 0]
= √64
= 8

Теперь проверим, является ли третья вершина прямоугольным треугольником, используя теорему Пифагора. Если AC^2 + BC^2 = AB^2, значит, третья вершина образует прямоугольный треугольник:
- AC^2 + BC^2 = AB^2
8^2 + BC^2 = 8.246^2
64 + BC^2 = 68
BC^2 = 68 - 64
BC^2 = 4
BC = √4
BC = 2

Таким образом, третья вершина (7, 2) не может образовать прямоугольный треугольник с вершинами A (-1, 2) и B (7, 4).

2) Проверим возможность третьей вершины с координатами (2, -3):
- Расстояние между точками A и третьей вершиной C (2, -3): AC = √[(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2]
AC = √[(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2]
= √[(2 + 1)^2 + (-3 - 2)^2]
= √[3^2 + (-5)^2]
= √[9 + 25]
= √34
≈ 5.83

- Расстояние между точками B и третьей вершиной C (2, -3): BC = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]
BC = √[(2 - 7)^2 + (-3 - 4)^2]
= √[(-5)^2 + (-7)^2]
= √[25 + 49]
= √74
≈ 8.60

Теперь проверим, является ли третья вершина прямоугольным треугольником, используя теорему Пифагора. Если AC^2 + BC^2 = AB^2, значит, третья вершина образует прямоугольный треугольник:
- AC^2 + BC^2 = AB^2
(√34)^2 + (√74)^2 = 8.246^2
34 + 74 = 68
108 ≠ 68

Таким образом, третья вершина (2, -3) не может образовать прямоугольный треугольник с вершинами A (-1, 2) и B (7, 4).

Вывод:
Таким образом, третья вершина треугольника не может иметь координаты (7, 2) и (2, -3), чтобы треугольник был прямоугольным.