АМ– бісектриса трикутника АВС. АВ = 4см, АС = 6 см. Більший з відрізків, на які бісектриса АМ ділить сторону ВС, дорівнює 3 см. Знайдіть ВС.

Наименьший угол треугольника равен ≈ 20,7°.

Объяснение:

Наименьший угол лежит против наименьшей стороны треугольника, то есть против стороны, равной 8 ед.

Находим площадь треугольника АВС по Герону:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где р - полупериметр, a,b,c - стороны.

p = (12+18+8)/2 = 19 ед.

S = √(19·7·1·11) = √1463 ≈ 38,25 ед.

С другой стороны, по формуле площади треугольника:

S = (1/2)·a·b·Sinα. В нашем случае:

38,25 = (1/2)·12·18·Sinα =>

Sinα =(38,23·2)/(12·18) ≈ 76,5/216 =  0,354.

α = arcsin0,354 ≈ 20,73°.  (по калькулятору или таблице).

Или так:

Нужный угол - α (лежит против меньшей стороны).

Опустим высоту BH = h.

Тогда в прямоугольном треугольнике АВН:

h² = 8²-(18-x)², а в треугольнике СВН h² = 12² - х ²  =>

64 - 324 +36x - x² = 144 - x.²  =>  36х = 404. х ≈ 11,2.

Cosα = 11,2/12 ≈ 0,935.

α = arccos0,935 ≈ 20,77° (по калькулятору).