Отношение площадей двух подобных треугольников равно 9:1. Стороны большего из них 12 см, 21 см, и 27 см. , а стороны другого - 15 см, 24 см и 36 см. Найдите стороны меньшего треугольника.

ABCDEF  и  A₁B₁C₁D₁E₁F₁  основании усеченной пирамиды , а O и  O₁

R =AO=BO=CO=DO=EO =FO . 
R₁ =A₁O₁=B₁O₁=C₁O₁=D₁O₁=E₁O₁ =F₁O₁ . 
 Рассмотрим четырехугольник (прямоугольная трапеция)  AA₁O₁O  и 
проведем   A₁H ⊥ AO  ( H ∈ AO) . 
AH =R - R₁ =12 см -8 см =4 см   
AH =AA₁/2  (катет против угла 30° : ∠AA₁H =90° -∠A₁AH =90° -60° =30°)  ⇒ AA₁=2AH =8 см.  AA₁B₁B  равнобедренная трапеция  известно  AA₁=BB₁= A₁B₁ =8 см  , AB =12 см . Высота  A₁M этой трапеции и есть апофема. 
A₁M ⊥  AB  ,.B₁N ⊥ AB , AM=BN =(AB -A₁B₁)/2 =(12 см -8 см)/2 =2 см.
Из ΔAA₁M :  
h =A₁M  =√(AA₁² - AM²) =√(8² -2²) =√(64 - 4) =√60 =2√15 (см).