Вычислите узкий угол ромба, если разница между двумя его углами составляет 30 °.

Суммы противоположных сторон равны, следовательно трапеция имеет вписанную окружность; трапеция равнобедренная, следовательно имеет описанную окружность.  

Центры вписанной и описанной окружностей лежат на общем серединном перпендикуляре к основаниям.

(Точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе.)  

K, L - точки касания, OK⊥BC, OL⊥AB

Вписанная окружность касается BC в середине (перпендикуляр из центра к хорде делит ее пополам).

BL=BK =BC/2 =a/2 (отрезки касательных из одной точки)

QM - серединный перпендикуляр, BM=AB/2 =a

LM=BM-BL =a/2  

BH - высота, AH=(AD-BC)/2 =a

BH=a√3 (т Пифагора)

Пусть ON||AB

ON=LM =a/2 (QM||OL, MLON прямоугольник)

ON||AB, OQ||BH => NOQ=ABH

△QON~△ABH (по двум углам)

OQ/AB=ON/BH => OQ=2a *a/2 : a√3 =a/√3