Из точек A и B, которые лежат в двух перпендикулярных плоскостях α и β, опущены перпендикуляры AC и BD на линию пересечения. Найти AB, если AD=7, BC=5, CD=√10.

Уравнение АВ: (x-(-3))/(5-(-3) = (y-3)/(-1-3) или (x + 3)/8 = (y - 3)/(-4).

В общем виде x + 2y - 3 = 0.

Так как высота АД - горизонтальная линия, то уравнение стороны ВС:

х = 5.

В уравнении высоты СД как перпендикуляра к АВ коэффициенты А и В меняются на -В и А (скалярное произведение равно 0).

Уравнение СД: -2х + у + С = 0. Подставим координаты точки Д, через которую проходит высота: -2*4 + 1*3 + С = 0, отсюда С = 8-3 = 5.

Уравнение СД: -2х + у + 5 = 0.

Находим координаты точки С как точки пересечения стороны ВС и высоты СД:

{x = 5,

{-2х + у + 5 = 0, подставим х = 5.

-2*5 + у + 5 = 0, у = 10 - 5 = 5.

Точка С(5;5).

Уравнение АС: (x-(-3))/(5-(-3) = (y-3)/(5-3) или (x + 3)/8 = (y - 3)/2.

В общем виде x - 4y + 15 = 0.