Втреугольнике mnp угол м=90 градусов, а угол н=70 градусов, мд- биссектриса. найдите углы треугольника pdm

Обозначим a - меньший угол параллелограмма, лежащнго в основании, д1 - длину  большой диагонали паралелограмма, лежащего в основании паралллелепипеда, д2 - длину малой диагонали паралелограмма, лежащего в основании паралллелепипеда, Д1 = 7 - большую диагональ параллелепипеда, Д2 = 5 меньшую диагональ параллелепипеда, Н - высоту параллелепипеда, sqrt - корень квадратный.

По теореме Пифагора:

H^2 + д1^2 = Д1^2  (1)

и

H^2 + д2^2 = Д2^2   (2)

По теореме косинусов:

д1^2 = 3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a  (3)

д2^2 = 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a   (4)

Подставим (3) и (4) в (1) и (2)

H^2 + 3^2 + 4^2 -2*3*4*cos a = 25 (5)

H^2 + 3^2 + 4^2  + 2*3*4*cos a = 49  (6)

Сложим (5) и (6)

2(H^2 +3^2 + 4^2) = 74

H^2 +9 + 16 = 37

H^2 = 12

Н = 2sqrt (3)

Вычтем (5) из (6)

2 * 2*3*4*cos a = 24

2 *24*cos a = 24

cos a =0,5

а = 60гр.

sin 60р = 0,5sqrt(3)

Площадь основания S = 3 *4 * sin 60 = 12 *0.5 sqrt(3) = 6sqrt(3)

Объём параллелепипеда V = S *H = 6sqrt(3) * 2sqrt (3) = 12 * 3 = 36

Найдем площадь треугольника PKT:

p_{\triangle PKT} = \frac{PK+KT+PT}{2}=\frac{17+65+(30+50)}{2}=\frac{82+80}{2}=\frac{162}{2}=81 \ cmp

△PKT

=

2

PK+KT+PT

=

2

17+65+(30+50)

=

2

82+80

=

2

162

=81 cm

\begin{gathered}S_{\triangle PKT} = \sqrt{p_{\triangle PKT}\cdot (p_{\triangle PKT}\cdot PK)\cdot(p_{\triangle PKT}-KT)\cdot(p_{\triangle PKT}-PT)}= \\ \\ =\sqrt{81\cdot(81-17)\cdot(81-65)\cdot(81-80)}=\sqrt{81\cdot 64\cdot16\cdot 1}=9\cdot8\cdot 4=288 \ cm^2\end{gathered}

S

△PKT

=

p

△PKT

⋅(p

△PKT

⋅PK)⋅(p

△PKT

−KT)⋅(p

△PKT

−PT)

=

=

81⋅(81−17)⋅(81−65)⋅(81−80)

=

81⋅64⋅16⋅1

=9⋅8⋅4=288 cm

2

H=\frac{2S_{\triangle PKT}}{PT}=\frac{2\cdot 288}{80}=\frac{288}{40}=\frac{144}{20}=\frac{72}{10}=7,2 \ cmH=

PT

2S

△PKT

=

80

2⋅288

=

40

288

=

20

144

=

10

72

=7,2 cm

\begin{gathered}S_{\triangle PKC}=\frac{1}{2}\cdot H\cdot PC=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 30=\frac{1}{2}\cdot \frac{72}{10}\cdot 30=36\cdot 3 =108 \ cm^2 \\ \\ S_{\triangle KCT}=\frac{1}{2}\cdot H\cdot CT=\frac{1}{2}\cdot 7,2\cdot 50=\frac{1}{2}\cdot \frac{72}{10}\cdot 50=36\cdot 5=180 \ cm^2 \\ \\\end{gathered}

S

△PKC

=

2

1

⋅H⋅PC=

2

1

⋅7,2⋅30=

2

1

⋅

10

72

⋅30=36⋅3=108 cm

2

S

△KCT

=

2

1

⋅H⋅CT=

2

1

⋅7,2⋅50=

2

1

⋅

10

72

⋅50=36⋅5=180 cm

2