Втреугольнике авс проведена медиана ад. найдите вl, если al - высота треугольника и ав = 1, ас = корень из 15, ad = 2 см.

если продлить ad за точку d на длину ad = 2, и полученную точку (пусть е) соединить с в и с, то получится прямоугольник. это следует из того, что в треугольнике ева длины сторон удовлетворяют теореме пифагора (15 + 1 = 16).

отсюда вс = 4, al = ab*ac/bc = корень(15)/4.

пусть ав - хорда окружности в основании, перпендикулярная mn и проходящая через точку к. расстояние от центра окружности до этой хорды ав равно 1 (это просто - кn равно 2, а половина mn равна 3, разность как раз и есть расстояние от центра до хорды ав, содержащей точку к).

поэтому (ав/2)^2 = r^2 - 1^2 = 24;   ab/2 = 2*√6;

ab = pq = 4*√3;

площадь сечения pqab равна (√6)*(4*√6) = 24;

площадь треугольника kpq равна половине площади этого прямоугольника pqab, то есть skpq = 12. 

объем пирамиды mnpq равен сумме объемов пирамид mkpq и nkpq, и равен 

v = (1/3)*skpq*(mk+kn) =  (1/3)*skpq*mn =  (1/3)*12*6 = 24;

не то, что было бы трудно сосчитать, "как человек". я в конце приложу "детский" расчет. а пока вот - что. размещу-ка я координатные оси таким образом, чтобы центр координат был в центре октаэдра, а вершины его - в симметричных точках на осях. "легче простого" убедиться в том, что координаты этого тетраэдра будут такие

(0,0,3) (0,0,-3) (0,3,0) (0,-3,0) (0,0,3) (0,0,-3).

можете убедится, что любое ребро такого октаэдра равно  √18 = 3*√2; (ну, соедините точку на оси x, x = 3, с точкой на оси y, y = 3, получится равнобедренный прямоугольный тр-к с катетом 3, и гипотенузой 3*√2, и так - все ребра).

а теперь найдем координаты вершин куба. рассмотрим "положительный" октант, то есть ту восьмую часть пространства, где x> 0,y> 0,z> 0. уравнение плоскости грани легко записать в виде x + y + z = 3, при этом центр этого треугольника имеет одинаковые координаты по всем осям, то есть лежит на прямой x = y = z;

поэтому координаты вершины куба (1,1,1). ну, и сразу ясно, какие будут координаты вершин куба в остальных октантах

(1,1,1)  (-1,1,1) (1,-1,,-1,1)(1,1,-1)  (-1,1,-1) (1,-1,-,-1,-1). очевидно, что ребро куба равно 2, а объем равен 8. при этом объем октаэдра равен

8*(3/3)*(3*3)/2 = 36.

теперь "детское" решение. 

сечение, перпендикулярное большой диагонали октаэдра, представляет собой квадрат со стороной 3*√2. диагональ такого квадрата равна 6, а сторона квадрата, соединяющего середины сторон этого сечения, равна 3. вершина куба лежит на апофеме, на расстоянии, на 1/3 апофемы ближе к вершине грани,чем середина основания, поэтому сторона куба равна 2/3 от стороны квадрата, соединяющего середины сторон построненного сечения. то есть равна 2, а объем 8.