1. известно, что в прямоугольном треугольнике abc с прямым углом a гипотенуза bc=33, cosc=0, 8. определи длину катета ac. 2. отрезки km и ef являются диаметрами окружности с центром в точке o. известно, что ∠fkm=52°. найди величину угла fem. 3. на рисунке изображена трапеция, где a=25, b=18, c=5, h=6. определи её площадь. 4. выбери верное утверждение. в ответе укажи его номер. 1) средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их произведению. 2) трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. 3) средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

пусть авсd - данный квадрат(ab=bc=cd=ad), о - точка пересечения диагоналей ас и bd

 

так как диагонали квадрата равны, и точкой пересечения делятся пополам, то

ао=во=со=do

 

диагонали квадрата пересекаются по пряммым углом (т.е. под углом 90 градусов), а это означает, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагонали т.о (влево)

т.а - перейдет в т.d

т.d - перейдет в т.c

т.c - перейдет в т.b

т.b - перейдет в т.a

(треугольник aob- перейдет в треугольник aod,

треугольник aod- перейдет в треугольник cod,

треугольник cod- перейдет в треугольник boc,

треугольник boc- перейдет в треугольник aob)

а значит квадрат abcd - перейдет в квадрат abcd - аналогично при повороте на 90 градусов (вправо)

доказано

1. тут можно много решений сделать, но вообще то устная.

если взять куб со стороной 3 - пусть это abcda1b1c1d1, провести диагонали граней а1в и а1d, они как раз и будут такими наклонными к плоскости основания abcd. все что надо сообразить - что треугольник а1вс равносторонний, поэтому угол между а1в и а1с равен 60 градусам. понятно, что проекции диагоналей - это строны квадрата в основании. то есть выполнены все условия . (можно считать, что я "достроил" фигуру из наклонных и проекций до куба с сечением по двум пересекающимся диагоналям смежных граней)

теперь очевидно, что расстояние от а1 до основания abcd равно стороне куба 3.

2. поскольку точка м равноудалена от сторон треугольника, то и её проекция - точка о равноудалена от сторон, то есть эта проекция - центр вписанной окружности. если через точку м провести плоскость перпендикулярно одной из сторон - например ав, то эта плоскость очевидно пройдет через о (мо - перпендикуляр к плоскости треугольника). если обозначить за к точку пересечения этой плоскости со стороной ав, то треугольник мок прямоугольный, мо = 1, мк = 2 (ясно, что мк перпендикулярно стороне ав). отсюда угол мко = 30 градусов.

второй катет, который очевидно равен  √3 - это радиус вписанной в авс окружности. отсюда легко сосчитать, что высота треугольника равна 3√3, а сторона равна 6.

(в правильном треугольнике центры вписанной и описанной окружностей с точкой пересечения медиан, то есть r = h/3; r = 2h/3; h = a√3/2)