4. в прямоугольном треугольнике dek (ze = 90°) dk = 16, 2dke = 30. с центром вточке d проведена окружность. каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямой ек; b) окружность не имела общих точек с прямой ек; с) окружность имела две общие точки с прямой ек? .​

Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан прямоугольного треугольника ABC с катетами AC и BC, P и Q – проекции точки M на AC и BC соответственно,

MP = 3,  MQ = 4,  K – середина BC.

  Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника, то  AC = 3PC = 3MQ = 12,  BC = 9.  Значит,  AB = 15,  SABC = ½ AC·BC = 54.

  Поскольку высота треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, равна  AC·BC/AB = 36/5,  то искомое расстояние равно 12/5.

ответ

12/5.

1) проведем высоты вн и сн1

2)рассмотрим треугольник авн: угол авн= 180-90-60=30

3) так как напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипатенузы, следовательно ан=ав: 2=5

4) так как треугольник авн и треугольник н1сd равны(сd=ав, угол ван= углу cdн1, углы н и н1 прямые), следовательно ан+н1д+нн1=аd

                                                                                                                нн1=16-5-5

                                                                                                                нн1=6

5) нн1=вс=6

ответ: 6