Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке​

если вписана окружность, то суммы противоположных строн равны. поэтому средняя линяя равна 17.

почему суммы противоположных сторон равны? это не только для трапеции - для любого выпуклого четырехугольника, в который можно вписать окружность. получается это так. точки касания делят стороны на отрезки, и отрезки, имеющие общую вершину четырехугольника, равны между собой (как касательные, проведенные к окружности из одной точки). всего, таким образом, в общем случае есть разные 4 пары равных отрезков (сколько вершин - столько пар). отсюда и получается, что суммы противоположных сторон - это суммы четырех таких отрезков - по одному отрезку из каждой из 4 пар.  

опять пифагоровы тройки, придется решать. простая - все, что надо сделать, это выяснить, какая диагональ у основания меньшая (меньшая диагональ параллелепипеда проектируется на меньшую диагональ параллелограмма в основании).

меньшая диагональ основания соединяет вершины тупых углов параллелограмма (то есть "лежит напротив" острого). после этого эта меньшая диагональ умножетеся на корень(3)/3 (это тангенс 30 градусов), получается высота параллелепипеда  (она же - боковое ребро). вычисляем площадь основания (ну, к примеру так - считаем по герону площадь треугольника со стронами (17,25,26) и умножаем на 2), умножаем на высоту параллелепипеда, объем получен. все это скучно и долго. 

вот прием, позволяющий всё это проделать устно. 

диагональ 26, боковые стороны 17 и 25 образуют треугольник, который "составлен" из двух пифагоровых треугольников со сторонами (7, 24, 25) и (10, 24, 26), приставленных друг к другу катетами 24 так, чтобы катеты 7 и 10 вместе составляли сторону 17. на самом деле это просто означает, что если в треугольнике со сторонами (17, 25, 26) провести высоту к стороне 17, то она будет равна 24 и разобьет сторону 17 на отрезки 7 и 10. уже ясно, что угол между сторонами 17 и 25 острый (это угол в прямоугольном треугольнике), и поэтому 26 - меньшая диагональ (и высота параллелепипеда равна 26*корень(3)/3);

площадь треугольника (17, 25, 26) равна 24*17/2, а площадь основания в 2 раза больше, то есть 24*17.

ответ такой - объем равен 24*17*26*корень(3)/3 = 3536*корень(3)