А, в, с — точки на попарно перпендикулярных лучах оа, ов, ос. найдите углы треугольника abc, если известно, что оа = ов = ос.

примем оа=ов=ос=х

ав, вс и ас являются гипотенузами равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами длины х.

по теореме пифагора  , значит 

аналогично найдем, что  и 

 

т.е. 

следовательно тругольник abc равносторонний, а углы равностороннего треугольника 60 градусов

 

Центр окружности o = 1/2(a+b) = ( (1; 8) +  (5; 2))/2 = (6; 10)/2 =  (3; 5) o (3; 5)радиусао =  √((1-3)²+(8-5)²) =  √(2²+3²) =  √(4+9) =  √13  ≈ 3,6056  уравнение окружности (x-3)² + (y-5)²  = 13 расстояние от центра окружности до оси ох больше радиуса и пересечений нет, а с осью оe пересечения есть на оси оу x = 0 (0-3)² +  (y-5)²  = 13 9 +  (y-5)²  = 13 (y-5)²  = 4 y₁-5   = -2 y₁ = 3первая точка пересечения(0; 3)y₂-5   = 2 y₂   = 7вторая точка пересечения (0; 7)

S(abc) = s(abd) + s(bcd) s(abd)/s(bcd) = 17/8 => s(abd) = 17/8*s(bcd) - подставим в первое уравнение: s(abc) = 17/8*s(bcd)  + s(bcd) = 25/8*s(bcd) s(abc)  = 1/2 * ac*bc s(bcd)  = 1/2 * dc*bc - подставим значение в уравнение: 1/2 * ac*bc = 25/8*1/2 * dc*bc  получим: ac/dc = 25/8, так как ac = ad+dc => (ad+dc)/dc = 25/8 ad/dc = 17/8 далее по свойству биссектрисы треугольника: ab/ad = bc/dc ad/dc = ab/bc ab/bc = 17/8 синус угла равен: bc = ab*sin∠abc sin∠abc = bc/ab = 8/17 ≈ 0.47 ≈ 28°