Cторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

найдем высоту основания a*sin60=3*sqrt(3)/2.

высота боковой грани равна a*sqrt(3)/4*sqrt(2)

площадь основания a^2*sqrt(3)/4=9sqrt(3)/4

площадь боковых граней 3*1/2*a^2*sqrt(6)/4=a^2*3*sqrt(6)/4

s=9*sqrt(3)*(1+3sqrt(2))/4

 

Прямая bd пересекает описанную окружность в точке к, а прямая ао - в точке е.  т.к. ао-радиус окружности, значит ае - ее диаметр.  вк- хорда окружности. по условию вд перпендикулярна ао, значит и вк перпендикулярна aе. диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. значит, точка a — середина дуги кав, дуга ка равна дуге ва. вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, следовательно ∠асв=∠авк=∠авд. получается у треугольников abd и acb два угла равны (∠а-общий), значит треугольники подобны по двум углам. следовательно, ад/ав=ав/ас. ад=ав²/ас=36²/48=27. значит сд=ас-ад=48-27=21.

Дано: верхнее основание трапеции вс = 12 левая боковая сторона ав = 36 правая боковая сторона сд = 39 дм - биссектириса и ам = вм = 18 найти: sтрап решение: дополнительное построение: через точку м, середину стороны ав проводим параллельно основаниям среднюю линию трапеции мк: ск = кд = 19,5 в δмкд  угол кмд = углу мда (накрест лежащие при параллельных мк и ад и секущей мд). но угол мда = углу кдм, т.к. мд - биссектриса. таким образом, в δмкд два угла равны: угол кмд = углу кдм, и δмкд -равнобедренный сравными сторонами мк = кд = 19,5. зная среднюю линию мк = 19,5 и верхнее основание сд = 12 можно вычислить нижнее основание ад мк = (сд + ад)/2 19,5 = (12 + ад)/2 ад = 27 сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин в и с трапеции опустим высоты сн = ве = h на нижнее основание ад. нижнее основание ад будет разделено на три отрезка дн = х, ен = 12 и ае = 27 - 12 - х = 15 - х из δснд выразим высоту сн=h сн² = cд² - дн²  или h² = 39² - х² из δаве выразим высоту ве = h ве² = ав² - ае² или таким образом, в δмкд два угла равны: угол кмд = углу кдм, и δмкд -равнобедренный сравными сторонами мк = кд = 19,5. зная среднюю линию мк = 19,5 и верхнее основание сд = 12 можно вычислить нижнее основание ад мк = (сд + ад)/2 19,5 = (12 + ад)/2 ад = 27 сделаем ещё одно дополнительное построение из вершин в и с трапеции опустим высоты сн = ве = h на нижнее основание ад. нижнее основание ад будет разделено на три отрезка дн = х, ен = 12 и ае = 27 - 12 - х = 15 - х из δснд выразим высоту сн = h сн² = cд² - дн²  или h² = 39² - х² из δаве выразим высоту ве = h ве² = ав² - ае²  или h² = 36² - (15 - х)² приравняем квадраты высот 39² - х² = 36² - (15 - х)² 1521 - х² = 1296 - 225 + 30х - х² 30х = 450 х = 15 итак высота трапеции из выражения h² = 39² - х² равна h = √(1521 - 225) = √1296 = 36 площадь трапеции s = мк·h = 19.5 · 36 = 702