8класс. тема: подобные треугольники и отношение их площадей. : стороны треугольника относятся как 4: 5: 7. найдите стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 96 см.

4+5+7=16 96: 16=6 4*6=24 5*6=30 7*6=42

пусть сторон квадрата   х

если сторона квадрата измеряется целым числом сантиметров.

-то х-   натуральное число

площадь одного квадрата   х^2 - натуральное число

общая площадь   s=189*147 =27783

количество квадратов   k   - наименьшее натуральное число, потому что 

количество квадратов наибольшей площади,

формула   kx^2 =27783 < здесь максимальный квадрат натурального числа ?

точно не делится на 2,4,5,6,8

ну ясно , что квадрат не один

делим  27783 /   3=9261 - не целый квадрат

делим  27783 /   7=3969  -   целый квадрат   числа   63

значит сторона квдрата   63 см

проверяем

7*63^2 = 27783

27783   =  27783   - верное тождество   - подходит

ответ  

количество квадратов   - 7

сторона квадрата   63 см

наибольшая площадь квадрата   3969 см2

если провести через точку l прямую mn ii bc (м лежит на ав, n лежит на dc), то прямоугольные треугольники klm и lnd равны. не подобны, а именно равны, lm = dn = 3a/4; km = ln = a/4; a - сторона квадрата. поэтому угол mlk = угол ldn. две стороны этих углов ml и dn взаимно перпендикулярны, значит, и kl перпендикулряно ld.

 

(есть куча эквивалентных способов завершения доказательства, если непонятно, то можно например провести pq ii сd через l, тогда угол dlq = угол mlk, то есть угол kld получается из прямого угла mlq поворотом на угол mlk.) 

 

а вот векторное решение, для разнообразия (жирным обозначены векторы).

если ввести 2 перпендикулярных вектора a = ав; b = bc;

скалярное произведение ab = ba = 0

то 

ac = a + b; al = 3(a + b)/4;

lk = a/2 - 3(a + b)/4 = - (a + 3b)/4;

ld = b -  3(a + b)/4 = (b - 3a)/4;

легко видеть, что 

скалярное произведение (lkld) = (-1/4)(ab + 3a^2 - 3b^2 - 9ba) = 0;

(поскольку a^2 = b^2; )

то есть эти векторы перпендикулярны, чтд.